Propositielogica & bewijzen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: propositielogica · waarheidstabellen
Gratis oefenopgaven over Propositielogica & bewijzen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: waarheidstabellen, equivalenties en bewijsmethoden, kwantoren en redeneringen.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Maak de waarheidstabel af (1 = waar, 0 = onwaar). In hoeveel rijen N is (p → r) ↔ (r ∨ q) waar?
(p → r) ↔ (r ∨ q)
Exact antwoord: een geheel getal, zonder afronden.
Een propositie is een uitspraak die waar of onwaar is, zoals “7 is een priemgetal”. We schrijven haar met een letter, p of q, en haar waarheidswaarde als 1 (waar) of 0 (onwaar).
Voegwoorden (connectieven) bouwen grotere formules uit kleinere:
¬p (niet p) draait de waarde om.
p ∧ q (en) is alleen 1 als beide 1 zijn.
p ∨ q (of) is alleen 0 als beide 0 zijn. Het is het inclusieve of: beide mogen waar zijn.
p → q (als p dan q) is alleen 0 als p = 1 en q = 0.
p ↔ q (dan en slechts dan als) is 1 als p en q dezelfde waarde hebben.
De implicatie verrast veel studenten: als p onwaar is, is p → q waar, wat q ook is. Een belofte “als het regent, neem ik een paraplu mee” wordt alleen gebroken op een regendag zonder paraplu.
Zelftoets p = 0 en q = 1. Wat is de waarde van p → q?
0
1
Dat hangt af van de context
Ongedefinieerd
Antwoord: 1. Een implicatie is alleen onwaar als de voorwaarde geldt en de conclusie faalt (p = 1, q = 0). Bij p = 0 is ze waar, wat q ook is.
2Waarheidstabellen
Een waarheidstabel toont elke combinatie van waarheidswaarden van de variabelen. Met n verschillende variabelen zijn er 2ⁿ rijen: 4 voor twee variabelen, 8 voor drie, 16 voor vier. Een variabele die twee keer voorkomt telt toch één keer.
Werk van binnen naar buiten. Geef elke deelformule een eigen kolom, zodat voor elke nieuwe kolom maar één voegwoord op al bestaande kolommen hoeft te worden toegepast.
Noteer de variabelen en schrijf alle 2ⁿ combinaties op, beginnend met alleen enen.
Voeg een kolom toe voor elke deelformule, de binnenste eerst.
Vul elke kolom in met de regel van zijn hoofdvoegwoord.
Lees het antwoord af uit de laatste kolom: tel de enen, of zoek de gevraagde rij.
Zelftoets Hoeveel rijen heeft de waarheidstabel van (p ∧ q) → (r ∨ p)?
16
4
6
8
Antwoord: 8. De formule heeft drie verschillende variabelen, p, q en r, dus 2³ = 8 rijen. p komt twee keer voor maar is één variabele; 16 zou 2⁴ zijn voor vier voorkomens.
3Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
In hoeveel rijen van zijn waarheidstabel is (p → q) ∧ ¬q waar?
1
Variabelen en rijen
Twee variabelen, p en q, dus 4 rijen: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0).
2
Kolom p → q
Hij is alleen 0 in de rij p = 1, q = 0:
p → q: 1, 0, 1, 1
3
Kolom ¬q
¬q: 0, 1, 0, 1
4
De conjunctie
Beide kolommen moeten 1 zijn. Dat gebeurt alleen in de laatste rij, p = 0 en q = 0.
(p → q) ∧ ¬q: 0, 0, 0, 1
Antwoord
De formule is waar in 1 rij, de rij p = 0, q = 0. Daarom geven p → q en ¬q samen ¬p (modus tollens).
4Equivalenties en bewijsmethoden
Twee formules zijn equivalent (≡) als hun kolommen in de waarheidstabel identiek zijn. Een tautologie is in elke rij 1, een contradictie in elke rij 0, en een contingentie is geen van beide.
De wetten die je het meest gebruikt:
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Deze wetten vormen de basis van de bewijsmethoden. Een bewijs met de contrapositie van p → q bewijst in plaats daarvan ¬q → ¬p, wat equivalent is. Een bewijs uit het ongerijmde neemt p ∧ ¬q aan, de enige manier waarop de implicatie kan falen, en leidt iets onmogelijks af.
Pas op: het omgekeerde q → p en de inverse ¬p → ¬q zijn niet equivalent met p → q.
Zelftoets Welke formule is equivalent met ¬(p ∧ q)?
p ∨ q
¬p ∧ q
¬p ∧ ¬q
¬p ∨ ¬q
Antwoord: ¬p ∨ ¬q. Volgens De Morgan wordt ∧ een ∨ en worden beide delen ontkend. ¬p ∧ ¬q is de ontkenning van p ∨ q, een andere uitspraak: ze is onwaar als precies één van p en q waar is, terwijl ¬(p ∧ q) dan waar is.
5Kwantoren en geldige redeneringen
Met variabelen over een domein zegt ∀x P(x) “P geldt voor elke x” en ∃x P(x) “P geldt voor minstens één x”. Een ontkenning verwisselt de kwantor:
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Schuif de ontkenning stap voor stap naar binnen; gebruik binnenin de propositiewetten. Bijvoorbeeld ¬∀x (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x)): “niet elke P is een Q” betekent “sommige P is geen Q”.
Een redenering is geldig als de conclusie 1 is in elke rij waarin alle premissen 1 zijn. Klassieke geldige vormen zijn modus ponens (p → q, p, dus q), modus tollens (p → q, ¬q, dus ¬p) en het hypothetisch syllogisme (p → q, q → r, dus p → r).
Een rij met alle premissen 1 en de conclusie 0 is een tegenvoorbeeld. Het bevestigen van de consequent (p → q, q, dus p) is ongeldig: de rij p = 0, q = 1 is een tegenvoorbeeld.
Zelftoets Wat is de ontkenning van “elke student is geslaagd”, ∀x P(x)?
¬P(x) voor één vaste student x
∀x ¬P(x): geen enkele student is geslaagd
∃x P(x): sommige student is geslaagd
∃x ¬P(x): sommige student is niet geslaagd
Antwoord: ∃x ¬P(x): sommige student is niet geslaagd. Eén student die gezakt is, is genoeg om “elke student is geslaagd” onwaar te maken. “Geen enkele student is geslaagd” is veel sterker dan de ontkenning.
6Veelgemaakte fouten
p → q onwaar noemen als p onwaar is. Ze is alleen onwaar als p = 1 en q = 0.
Een herhaalde variabele dubbel tellen bij het bepalen van het aantal rijen.
De contrapositie ¬q → ¬p verwarren met het omgekeerde q → p of de inverse ¬p → ¬q.
∀x P(x) ontkennen als ∀x ¬P(x): de kwantor moet veranderen in ∃.
¬(p ∧ q) schrijven als ¬p ∧ ¬q: De Morgan verwisselt ook het voegwoord.
Zelftoets Welke uitspraak is de contrapositie van “als n² even is, dan is n even”?
Als n even is, dan is n² even
Als n oneven is, dan is n² oneven
Als n² oneven is, dan is n oneven
n² is even en n is oneven
Antwoord: Als n oneven is, dan is n² oneven. Verwissel de twee delen en ontken beide: niet (n even) → niet (n² even). “Als n even is, dan is n² even” is het omgekeerde; de laatste optie is wat een bewijs uit het ongerijmde aanneemt.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: waarheidstabellen. Je bepaalt het aantal rijen, telt de rijen waarin een formule waar is, of klikt de ene rij aan die een formule waar of onwaar maakt.
Gemiddeld: equivalenties en bewijsmethoden. Je beslist of een formule een tautologie, contradictie of contingentie is, kiest de equivalente formule, of de uitspraak die je moet bewijzen bij een bewijs met contrapositie of uit het ongerijmde.
Moeilijk: kwantoren en redeneringen. Je ontkent uitspraken met kwantoren, kiest de conclusie die uit premissen volgt, klikt de tegenvoorbeeldrij van een ongeldige redenering aan, of telt ware rijen in een tabel met vier variabelen.
Precies één rij van de waarheidstabel maakt ¬(p ∨ q) → q onwaar. Klik op die rij.
¬(p ∨ q) → q
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
Hints tonen
a → b is alleen 0 als a = 1 en b = 0. ¬a draait de waarde om. a ∨ b is alleen 0 als beide 0 zijn.
Bepaal eerst het hoofdvoegwoord: wat moeten de twee kanten zijn om de hele formule 0 te maken?
Geef elk deel een eigen kolom: p ∨ q; ¬(p ∨ q); ¬(p ∨ q) → q.
Toon het antwoord en de uitleg
Waarheidstabellen: een formule met n verschillende variabelen heeft 2ⁿ rijen, één voor elke combinatie van waarheidswaarden (1 = waar, 0 = onwaar). Werk van binnen naar buiten en geef elke deelformule een eigen kolom. ¬a draait de waarde om; a ∧ b is alleen 1 als beide 1 zijn; a ∨ b is alleen 0 als beide 0 zijn; a → b is alleen 0 als a = 1 en b = 0; a ↔ b is 1 als beide kanten gelijk zijn.
Welke formule is logisch equivalent met (b ∧ c) → a? Klik erop.
(b ∧ c) → a
1(b → a) ∧ (c → a)
2b → (c → a)
3b ∧ (c → a)
4(b → c) → a
Hints tonen
Equivalente formules komen in elke rij van de waarheidstabel overeen. Eén rij waarin ze verschillen sluit een optie uit.
Probeer een rij die (b ∧ c) → a gelijk aan 0 maakt en controleer welke opties daar ook 0 zijn.
Exportatie: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Beide zijn alleen 0 als a = 1, b = 1 en c = 0.
Toon het antwoord en de uitleg
Logische equivalentie: twee formules zijn equivalent (≡) als ze in elke rij van de waarheidstabel dezelfde waarde hebben. Een tautologie is in elke rij 1, een contradictie in elke rij 0, en een contingentie is geen van beide. Nuttige wetten: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b en ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositie); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; en de distributieve wetten, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
De wet
Exportatie: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Beide zijn alleen 0 als a = 1, b = 1 en c = 0.
(b ∧ c) → a ≡ b → (c → a)
Controleer met de waarheidstabel
a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1
a = 0, b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 0
a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 1
a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 0 0
a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 0
Antwoord
b → (c → a)
De kolommen na de streep zijn de opties in de getoonde volgorde.
Voorbeeld 3Moeilijk
De premissen (q ∧ p) → r; q; ¬r zijn gegeven. Welke conclusie volgt eruit? Klik erop.
(q ∧ p) → rq¬r
1p
2p ∧ ¬r
3¬p
4r
Hints tonen
Een conclusie volgt als ze 1 is in elke rij waarin alle premissen 1 zijn.
Zoek de rijen waarin alle premissen 1 zijn en test dan elke optie in die rijen.
Dit is een standaardregel: modus tollens met een conjunctie.
Toon het antwoord en de uitleg
Kwantoren en redeneringen: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) en ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Schuif een ontkenning naar binnen, verwissel elke kwantor die ze passeert en ontken de binnenste formule met de propositiewetten, zoals ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Een redenering is geldig als de conclusie 1 is in elke rij waarin alle premissen 1 zijn. Eén rij met ware premissen en een onware conclusie is een tegenvoorbeeld en toont aan dat de redenering ongeldig is.
Rijen met alle premissen waar
p = 0, q = 1, r = 0: p = 0, p ∧ ¬r = 0, ¬p = 1, r = 0
Conclusie
¬p (modus tollens met een conjunctie)
Antwoord
¬p
Vragen en antwoorden
Propositielogica & bewijzen: wat is het?
Een propositie is een uitspraak die waar of onwaar is, zoals “7 is een priemgetal”. We schrijven haar met een letter, p of q, en haar waarheidswaarde als 1 (waar) of 0 (onwaar).
Voegwoorden (connectieven) bouwen grotere formules uit kleinere:
Propositielogica & bewijzen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Tel de verschillende variabelen: de waarheidstabel heeft 2ⁿ rijen, beginnend met alle variabelen op 1.
Geef elke deelformule een eigen kolom en vul de kolommen van binnen naar buiten in.
Pas de regel van elk voegwoord toe: → is alleen 0 bij 1 → 0, ↔ is 1 als beide kanten gelijk zijn.
Vergelijk bij equivalenties de laatste kolommen rij voor rij; kijk bij een redenering alleen naar de rijen waarin alle premissen 1 zijn.
Om een bewering met kwantor te ontkennen, schuif je ¬ naar binnen, verwissel je ∀ en ∃ en ontken je de binnenste formule.
Propositielogica & bewijzen: wat zijn veelgemaakte fouten?
p → q onwaar noemen als p onwaar is.
Een herhaalde variabele dubbel tellen bij het bepalen van het aantal rijen.
De contrapositie ¬q → ¬p verwarren met het omgekeerde q → p.
∀x P(x) ontkennen als ∀x ¬P(x) in plaats van ∃x ¬P(x).
De Morgan toepassen zonder ∧ en ∨ te verwisselen.
Propositielogica & bewijzen: wat oefen je?
Makkelijk: waarheidstabellen
Gemiddeld: equivalenties en bewijsmethoden
Moeilijk: kwantoren en redeneringen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.