Beschrijvende statistiek: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: gemiddelde · standaardafwijking · mediaan · spreidingsmaten
Gratis oefenopgaven over Beschrijvende statistiek met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: gemiddelde en mediaan, standaardafwijking, normale verdeling.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Bereken het gemiddelde x̄ van de gegevens: 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33.
Beschrijvende statistiek vat een lijst getallen, data genoemd, samen met een paar waarden. De eerste vraag is: waar ligt het midden?
Het gemiddelde is het gewone gemiddelde: tel alle waarden op en deel door hoeveel het er zijn, n.
x̄ = Σx / n
Het symbool Σ betekent “tel ze allemaal op”, en x̄ lees je als “x-streep”. Voor 3, 5 en 10 is het gemiddelde 18/3 = 6.
De mediaan is de middelste waarde nadat je de data van klein naar groot hebt gesorteerd.
Oneven n: de mediaan is de enige middelste waarde. Voor 3, 5, 10 is dat 5.
Even n: de mediaan is het gemiddelde van de twee middelste waarden.
Eén extreme waarde, een uitschieter, trekt het gemiddelde naar zich toe maar verplaatst de mediaan nauwelijks. Inkomens worden daarom vaak met de mediaan samengevat.
Zelftoets Wat is de mediaan van 4, 40, 29, 22, 17, 20?
20
21
22
25,5
Antwoord: 21. Gesorteerd: 4, 17, 20, 22, 29, 40. De twee middelste waarden zijn 20 en 22, dus de mediaan is 21. 25,5 komt van het midden van de ongesorteerde lijst; 22 is het gemiddelde.
2De spreiding: standaardafwijking
Twee datasets kunnen hetzelfde gemiddelde hebben maar een heel verschillende spreiding. De standaardafwijking s meet hoe ver waarden doorgaans van het gemiddelde af liggen.
Elke waarde heeft een afwijking x − x̄. Afwijkingen tellen op tot nul, dus kwadrateer je ze eerst, waardoor ze allemaal positief worden.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Dit is de standaardafwijking van een steekproef: je deelt door n − 1, niet door n. Het kwadraat van s heet de variantie.
Voor 2, 4 en 6: het gemiddelde is 4, de afwijkingen zijn −2, 0 en 2, de kwadraten tellen op tot 8, 8/2 = 4, en s = √4 = 2.
Zelftoets Wat is de standaardafwijking van de steekproef 2, 4 en 6?
0
1,633
2
4
Antwoord: 2. Σ(x − x̄)² = 8, gedeeld door n − 1 = 2 geeft 4, en √4 = 2. Delen door n = 3 geeft 1,633; 4 vergeet de wortel, en 0 is de som van de afwijkingen vóór het kwadrateren.
3z-scores en de normale verdeling
Veel metingen, zoals lengtes of examenscores, volgen een klokvormige kromme: de normale verdeling. Het midden is het gemiddelde μ en de breedte is de standaardafwijking σ.
Een z-score zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde af ligt:
z = (x − μ) / σ
Met μ = 70 en σ = 10 heeft een score van 74 een z = 4/10 = 0,4. Een negatieve z betekent dat de waarde onder het gemiddelde ligt.
De 68–95–99,7-regel: ongeveer 68% van de waarden ligt binnen 1σ van het gemiddelde, 95% binnen 2σ en 99,7% binnen 3σ.
Met μ = 50 en σ = 5 heeft de waarde 60 een z = 2. Ongeveer 95% ligt tussen 40 en 60, dus ongeveer 2,5% ligt boven 60. Een z-tabel geeft de exacte waarde 0,0228.
Zelftoets IQ-scores zijn normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Welk percentage van de mensen scoort ongeveer boven 115?
16%
32%
34%
68%
Antwoord: 16%. 115 ligt 1σ boven het gemiddelde. 68% ligt binnen 1σ, dus 32% ligt erbuiten, gelijk verdeeld over beide staarten: 16% erboven. 32% vergeet de twee staarten te splitsen.
4De methode stap voor stap
Schrijf de data in een rij en tel n.
Gemiddelde: tel alles op en deel door n.
Mediaan: sorteer eerst, neem dan de middelste waarde, of het gemiddelde van de twee middelste waarden.
Standaardafwijking: trek het gemiddelde van elke waarde af, kwadrateer, tel op, deel door n − 1, neem de wortel.
z-score: trek μ af, deel door σ. Gebruik dan de 68–95–99,7-regel of een z-tabel voor een deel.
Een tabel met de kolommen x, x − x̄ en (x − x̄)² houdt de berekening van de standaardafwijking overzichtelijk.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Zoek het gemiddelde, de mediaan en de standaardafwijking s van de steekproef van de data: 4, 8, 6, 5, 7.
1
Het gemiddelde
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
De mediaan
Gesorteerd: 4, 5, 6, 7, 8. Met n = 5 is de middelste waarde de derde.
mediaan = 6
3
Afwijkingen en kwadraten
Trek het gemiddelde van elke waarde af: −2, 2, 0, −1, 1. Controle: ze tellen op tot 0.
Kwadrateer ze: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Deel door n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Neem de wortel
s = √2,5 ≈ 1,58
Controle: de waarden liggen 0, 1 of 2 van het gemiddelde af, dus een typische afstand van ongeveer 1,6 klopt.
Antwoord
Gemiddelde x̄ = 6, mediaan 6, en s ≈ 1,58.
6Veelgemaakte fouten
Het midden van de lijst nemen zonder eerst te sorteren.
Delen door n in plaats van n − 1 voor een standaardafwijking van een steekproef.
De wortel aan het eind vergeten, wat de variantie geeft in plaats van s.
Het teken van een z-score verkeerd hebben: een waarde onder het gemiddelde heeft een negatieve z.
Vergeten te delen door σ bij de z-score.
Zelftoets Examenscores hebben gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Wat is de z-score van een score van 60?
1
6
−10
−1
Antwoord: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. De score ligt onder het gemiddelde, dus z is negatief. −10 vergeet door σ te delen.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: het gemiddelde of de mediaan van een korte lijst data.
Gemiddeld: de standaardafwijking van een steekproef van vijf of zes waarden. Deel door n − 1.
Moeilijk: de normale verdeling. Zoek een z-score, of het deel van de waarden boven of onder een gegeven waarde.
Een snelle controle: het gemiddelde en de mediaan liggen tussen de kleinste en de grootste waarde, en s is nooit negatief.
Bereken de mediaan M van de gegevens: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.
n = 9
Gevraagd: M
Hints tonen
Sorteer de waarden van klein naar groot.
Bij een oneven aantal waarden is de mediaan de middelste.
gesorteerd: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Sorteren
3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40
Middelste waarde
M = 18
Antwoord
M = 18
Voorbeeld 2Gemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
n = 7
Gevraagd: s
Hints tonen
Bereken eerst het gemiddelde.
Kwadrateer elke afwijking van het gemiddelde, tel ze op, deel door n − 1 en neem de wortel.
x̄ = 37,71.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 36?
μ = 60σ = 12x = 36
Gevraagd: P
Hints tonen
Reken eerst om naar een z-score.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Lees Φ(z) af in de tabel van de standaardnormale verdeling.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Antwoord
P = 0,02275
Vragen en antwoorden
Beschrijvende statistiek: wat is het?
Beschrijvende statistiek vat een lijst getallen, data genoemd, samen met een paar waarden. De eerste vraag is: waar ligt het midden?
Het gemiddelde is het gewone gemiddelde: tel alle waarden op en deel door hoeveel het er zijn, n.
Beschrijvende statistiek: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: wat oefen je?
Makkelijk: gemiddelde en mediaan
Gemiddeld: standaardafwijking
Moeilijk: normale verdeling
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.