Numerieke methoden: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: numerieke wiskunde · methode van Newton · regel van Simpson · methode van Euler
Gratis oefenopgaven over Numerieke methoden met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: nulpunten en interpolatie, trapeziumregel en regel van Simpson, Euler, Heun en Runge–Kutta.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Pas Newton–Raphson toe op f(x) = e−x − x met startwaarde x₀ = 0. Bepaal x2.
Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Veelgemaakte fouten
De verkeerde helft van het bisectie-interval aanhouden, of de stappen verkeerd tellen.
x − f′/f schrijven in plaats van x − f/f′ bij Newton–Raphson.
Binnenste knooppunten gewicht 1 geven in de trapeziumregel, of Simpson gebruiken met een oneven aantal stroken.
Iteraties te vroeg afronden.
Eén Euler-stap te weinig of te veel zetten om de eindtijd te bereiken.
Belangrijke formules
Bisectie
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Veel vergelijkingen en integralen hebben geen formule voor hun antwoord: x = cos x, ∫e−x²dx, of de meeste differentiaalvergelijkingen. Numerieke methoden berekenen het antwoord stap voor stap tot elke gewenste nauwkeurigheid.
De bisectiemethode vindt een nulpunt van f(x) = 0 op een interval [a, b] waarop f van teken wisselt. Neem het midden c = (a + b)/2 en houd de helft waarin het teken nog wisselt.
Voorbeeld: f(x) = x² − 2 op [1, 2]. c₁ = 1,5 geeft f = 0,25 > 0, dus houd [1, 1,5]. c₂ = 1,25 geeft f = −0,4375 < 0, dus houd [1,25; 1,5]. Dan c₃ = 1,375.
Elke stap halveert het interval, dus na n stappen is de breedte (b − a)/2ⁿ. Bisectie is langzaam maar werkt altijd zodra je een tekenwisseling hebt.
Zelftoets Bisectie begint op een interval van lengte 1. Hoe breed is het interval na 10 stappen?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Antwoord: 1/1024. Elke stap halveert het: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Delen door 10 of 20 behandelt het halveren alsof het optellend is.
2Newton–Raphson
Newton–Raphson volgt de raaklijn naar beneden tot de x-as en gebruikt dat snijpunt als volgende schatting:
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Voor f(x) = x² − 2 met f′(x) = 2x en x₀ = 2: x₁ = 2 − 2/4 = 1,5, x₂ = 1,5 − 0,25/3 = 1,416667, x₃ = 1,414216. Het nulpunt is √2 = 1,414214.
Dicht bij het nulpunt verdubbelt Newton ongeveer het aantal juiste cijfers in elke stap. De methode kan falen als f′(xₙ) dicht bij 0 ligt, of als de start ver van het nulpunt ligt.
Houd in elke iteratie minstens zes cijfers aan; te vroeg afronden verhindert dat de methode verbetert.
Zelftoets Eén Newton-stap voor f(x) = x² − 5 vanaf x₀ = 2 geeft…
1,75
2,25
2,2
2,5
Antwoord: 2,25. f(2) = −1 en f′(2) = 4, dus x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. −1/4 erbij optellen in plaats van aftrekken geeft 1,75.
3Lineaire interpolatie
Tabellen geven alleen waarden in bepaalde punten. Lineaire interpolatie trekt een rechte lijn tussen de twee naburige tabelpunten:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Voorbeeld: de tabel geeft f(1) = 2,0 en f(2) = 2,6. Bij x = 1,4 is de fractie 0,4, dus f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
Inverse interpolatie werkt hetzelfde andersom: om te vinden waar y = 2,3, is de fractie (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, dus x ≈ 1,5.
4Trapeziumregel en regel van Simpson
Om f van a tot b te integreren, verdeel je het interval in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀, x₁, …, xₙ.
De trapeziumregel vervangt de kromme in elke strook door een rechte lijn. Elk binnenste knooppunt hoort bij twee stroken, dus het telt twee keer:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
De regel van Simpson past parabolen door telkens drie knooppunten. Ze heeft een even n nodig:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Voor ∫01 x² dx = 1/3 met n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, terwijl S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, exact.
De fout van de trapeziumregel neemt af als h² en die van Simpson als h⁴: h halveren maakt Simpson ongeveer 16 keer nauwkeuriger.
Zelftoets Welke gewichten geeft de trapeziumregel aan de knooppunten x₀, x₁, x₂, x₃?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Antwoord: 1, 2, 2, 1. De twee eindpunten horen bij één strook en de binnenste punten bij twee, dus 1, 2, 2, 1 met de factor h/2. De 4-en horen bij de regel van Simpson.
5Euler en Heun voor differentiaalvergelijkingen
Voor y′ = f(t, y) met y(t₀) = y₀ zet je in de tijd stappen vooruit met stapgrootte h. De methode van Euler gebruikt de helling aan het begin van elke stap:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
De methode van Heun (verbeterde Euler) voorspelt met Euler en middelt dan de hellingen aan beide uiteinden: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
De fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h². De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) gebruikt vier hellingen en is nauwkeurig tot h⁴.
Uitgewerkt voorbeeld
Los y′ = y, y(0) = 1 op met de methode van Euler en h = 0,1 tot t = 0,3, en vergelijk met de exacte oplossing eᵗ.
1
Stap 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Stap 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Stap 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Vergelijken
De exacte waarde is e0,3 = 1,349859, dus de globale fout is 0,0189. Eén Heun-stap vanaf y₀ zou 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 geven tegenover e0,1 = 1,105171.
Antwoord
y(0,3) ≈ 1,331 met Euler; de fout 0,019 neemt ongeveer evenredig met h af.
6Veelgemaakte fouten en tentamenvragen
Het eerste bisectiemidden als stap 0 tellen, of de verkeerde helft van het interval aanhouden.
x − f′/f schrijven in plaats van x − f/f′ in de methode van Newton.
De factor 2 op binnenste knooppunten vergeten, of h in plaats van h/2 gebruiken in de trapeziumregel.
De regel van Simpson gebruiken met een oneven aantal stroken.
Bij de methode van Euler de helling aan het einde van de stap gebruiken, of één stap te weinig zetten.
Makkelijk: bisectie, Newton-iteraties en interpolatie in een tabel. Gemiddeld: de trapeziumregel en de regel van Simpson, hun fout en het benodigde aantal stroken. Moeilijk: Euler-, Heun- en Runge–Kutta-stappen voor differentiaalvergelijkingen.
Zelftoets y′ = 2y met y(0) = 1. Wat geeft één Euler-stap met h = 0,2?
1,2
1,49
1,4
2,4
Antwoord: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. De factor 2 in de helling vergeten geeft 1,2; 1,49 is de exacte waarde e0,4.
De bisectiemethode begint op een interval met lengte 4. Elke stap halveert het interval. Hoeveel stappen n zijn minstens nodig voordat het interval korter is dan 0,0001?
b − a = 4ε = 0,0001
Gevraagd: n
Hints tonen
Na n stappen heeft het interval lengte (b − a)/2ⁿ.
Los 4/2ⁿ < 0,0001 op, dus 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Nulpunten vinden en interpolatie: bisectie houdt een interval [a, b] aan waarop f van teken wisselt; elke stap neemt het midden c = (a + b)/2 en houdt de helft waarin het teken nog wisselt, dus na n stappen is het interval (b − a)/2ⁿ breed. Newton–Raphson volgt de raaklijn naar de as: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); dicht bij een enkelvoudig nulpunt verdubbelt het ongeveer het aantal juiste cijfers per stap. Lineaire interpolatie tussen twee tabelpunten: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Voorwaarde
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logaritme
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Controle
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Antwoord
n = 16
Voorbeeld 2Gemiddeld
Benader ∫01,5 √(1 + x³) dx met de trapeziumregel met n = 3 stroken. Geef T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Gevraagd: T
Hints tonen
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; de knooppunten zijn 0, 0,5, 1, 1,5.
Gewichten: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
De gewogen som is Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Veel vergelijkingen en integralen hebben geen formule voor hun antwoord: x = cos x, ∫e−x²dx, of de meeste differentiaalvergelijkingen. Numerieke methoden berekenen het antwoord stap voor stap tot elke gewenste nauwkeurigheid.
De bisectiemethode vindt een nulpunt van f(x) = 0 op een interval [a, b] waarop f van teken wisselt. Neem het midden c = (a + b)/2 en houd de helft waarin het teken nog wisselt.
Numerieke methoden: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Numerieke methoden: wat zijn veelgemaakte fouten?
De verkeerde helft van het bisectie-interval aanhouden, of de stappen verkeerd tellen.
x − f′/f schrijven in plaats van x − f/f′ bij Newton–Raphson.
Binnenste knooppunten gewicht 1 geven in de trapeziumregel, of Simpson gebruiken met een oneven aantal stroken.
Iteraties te vroeg afronden.
Eén Euler-stap te weinig of te veel zetten om de eindtijd te bereiken.
Numerieke methoden: wat oefen je?
Makkelijk: nulpunten en interpolatie
Gemiddeld: trapeziumregel en regel van Simpson
Moeilijk: Euler, Heun en Runge–Kutta
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.