Afgeleiden: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: differentiëren · afgeleide berekenen · kettingregel

Gratis oefenopgaven over Afgeleiden met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: machtsregel, ketting- en productregel, raaklijnen en extremen.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
xyx = −2

Gegeven f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Bereken de helling van de grafiek in x = −2, dus f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
Volgende opgave →
Oefen Afgeleiden gratisOefen nu AfgeleidenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkmachtsregel
  2. Gemiddeldketting- en productregel
  3. Moeilijkraaklijnen en extremen

Zo los je opgaven over Afgeleiden op

  1. Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
  2. Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
  3. Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
  4. Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Veelgemaakte fouten

  • De afgeleide van de binnenste functie vergeten bij de kettingregel.
  • De volgorde verkeerd nemen bij de quotiëntregel.
  • Een constante factor behandelen als een product.

Belangrijke formules

Machtsregel
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel
(uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Leer Afgeleiden vanaf nul

Hiervoor: Limieten

1Wat een afgeleide is

Een afgeleide meet hoe snel iets verandert. Als de positie van een auto elk uur met 50 km verandert, is zijn snelheid 50 km/h: de veranderingssnelheid van de positie.

In een grafiek is de afgeleide in een punt de helling van de kromme daar: hoe steil hij stijgt of daalt als je heel dichtbij inzoomt.

Die helling is de helling van de raaklijn, de rechte lijn die de kromme in dat punt net raakt.

xy(1, 1)m = 2

Voor y = x² heeft de raaklijn in x = 1 helling 2. We schrijven f′(1) = 2, uitgesproken als “f accent van 1”.

  • Positieve afgeleide: de grafiek stijgt.
  • Negatieve afgeleide: de grafiek daalt.
  • Afgeleide nul: de grafiek is daar vlak, bijvoorbeeld in een top of een dal.
Zelftoets In een punt waar de grafiek van f daalt, is de afgeleide…
  1. negatief
  2. nul
  3. ongedefinieerd
  4. positief

Antwoord: negatief. De afgeleide is de helling. Een grafiek die van links naar rechts daalt, heeft een negatieve helling.

2De basisregels

Je hebt niet elke keer limieten nodig. Een paar regels dekken de meeste functies.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Dit is de machtsregel: zet de macht voor de x en verlaag de macht met één. Dus (x³)′ = 3x² en (x)′ = 1.

  • Een constante op zichzelf heeft afgeleide 0: hij verandert niet.
  • Een constante factor blijft staan: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • Bij een som neem je de afgeleide van elke term apart.

Leer ook deze: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x en (cos x)′ = −sin x.

Zelftoets Wat is de afgeleide van 4x³ − 2x + 7?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Antwoord: 12x² − 2. Machtsregel op elke term: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2 en de constante 7 geeft 0.

3Product- en kettingregel

Twee regels meer behandelen functies die uit andere functies zijn opgebouwd.

Productregel, voor twee functies die met elkaar vermenigvuldigd worden:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Kettingregel, voor een functie binnen een andere functie: neem de afgeleide van de buitenste functie, laat de binnenste ongemoeid en vermenigvuldig dan met de afgeleide van de binnenste.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

De quotiëntregel volgt uit deze twee: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Zelftoets Wat is de afgeleide van (2x + 5)³?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Antwoord: 6(2x + 5)². Buiten: 3(2x + 5)². Binnen: (2x + 5)′ = 2. Vermenigvuldig: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². De binnenste 2 vergeten is de klassieke fout.

4De methode stap voor stap

  1. Kijk naar de structuur: een som van termen, een product, een quotiënt of een functie binnen een functie.
  2. Schrijf wortels en breuken eerst als machten: √x = x1/2 en 1/x² = x−2.
  3. Pas de regels van buiten naar binnen toe, één stukje tegelijk.
  4. Vereenvoudig het resultaat.
  5. Als om een waarde wordt gevraagd, vul je het getal pas aan het eind in.

Om een top of een dal van een grafiek (een extremum) te vinden, los je f′(x) = 0 op. De tweede afgeleide vertelt welke van de twee het is: f″ < 0 is een maximum, f″ > 0 een minimum.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Stel f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Bepaal de helling bij x = 0 en het lokale maximum en minimum.

1

Term voor term differentiëren

Gebruik de machtsregel op elke term. De constante 1 valt weg.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

De helling bij x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

De raaklijn bij x = 0 stijgt dus 9 eenheden voor elke eenheid naar rechts.

3

Afgeleide gelijk aan nul stellen

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Welke is het maximum?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 is negatief, dus x = 1 is een maximum. f″(3) = 6 is positief, dus x = 3 is een minimum.

5

Bepaal de waarden

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

De grafiek bevestigt het: vlak in beide punten, een top in (1, 5) en een dal in (3, 1).

Antwoord

f′(0) = 9. Lokaal maximum in (1, 5), lokaal minimum in (3, 1).

6Veelgemaakte fouten

  • De afgeleide van de binnenste functie vergeten bij de kettingregel.
  • (u · v)′ = u′ · v′ schrijven. De productregel heeft twee termen.
  • De volgorde bij de quotiëntregel verkeerd hebben: het is u′v − uv′ in de teller, met een min.
  • Het getal invullen vóór het differentiëren. Differentieer eerst, vul daarna in.
  • Een constant veelvoud zoals 5x³ als product behandelen. Het is eenvoudiger: de 5 blijft gewoon staan.
Zelftoets Wat is de afgeleide van √x?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Antwoord: 1/(2√x). √x = x1/2, dus de afgeleide is ½x−1/2 = 1/(2√x). De wortel eerst als macht schrijven maakt het makkelijk.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: een veelterm. Gebruik de machtsregel en bepaal de helling bij een gegeven x.
  • Gemiddeld: de ketting- of productregel, bijvoorbeeld (2x + 5)⁵ of x²·e−x, uitgerekend in een punt.
  • Moeilijk: raaklijnen en extrema. Los f′(x) = 0 op en bepaal welk punt het maximum is.

Een snelle controle bij vragen over de helling: kijk in gedachten naar de grafiek. Als hij daar stijgt, moet je antwoord positief zijn.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
xyx = 1

Gegeven f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Bereken de helling van de grafiek in x = 1, dus f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Gevraagd: f′(1)

Hints tonen
  1. Differentieer term voor term met de machtsregel (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Een constante valt weg.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Vul nu x = 1 in.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Term voor term differentiëren

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Invullen

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Antwoord

f′(1) = −6
Voorbeeld 2Gemiddeld
xyx = 1

Gegeven f(x) = x3·e−x. Bereken f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Gevraagd: f′(1)

Hints tonen
  1. Productregel met u = x3 en v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Productregel

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Invullen

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Antwoord

f′(1) = 0,7358
Voorbeeld 3Moeilijk
xy

Gegeven f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. Bereken de x-coördinaat x van het lokale minimum.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

Gevraagd: x

Hints tonen
  1. In een lokaal maximum of minimum is de afgeleide nul.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. Bij een derdegraadsfunctie met positieve x³-term komt het maximum eerst (kleinere x) en het minimum daarna.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Afgeleide

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

f′(x) = 0 oplossen

x = 3 of x = 6

Welke is welke

f″(x) = 6x − 27: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Antwoord

x = 6

Vragen en antwoorden

Afgeleiden: wat is het?

Een afgeleide meet hoe snel iets verandert. Als de positie van een auto elk uur met 50 km verandert, is zijn snelheid 50 km/h: de veranderingssnelheid van de positie.

In een grafiek is de afgeleide in een punt de helling van de kromme daar: hoe steil hij stijgt of daalt als je heel dichtbij inzoomt.

Afgeleiden: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
  2. Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
  3. Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
  4. Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.
Afgeleiden: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • De afgeleide van de binnenste functie vergeten bij de kettingregel.
  • De volgorde verkeerd nemen bij de quotiëntregel.
  • Een constante factor behandelen als een product.
Afgeleiden: wat oefen je?
  • Makkelijk: machtsregel
  • Gemiddeld: ketting- en productregel
  • Moeilijk: raaklijnen en extremen

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Limieten

Daarna verder met

IntegralenMultivariabele analyseNumerieke methodenDifferentiaalvergelijkingenOptimalisatieRijen & reeksen

Calculators

Afgeleide berekenen met stappen

Vakken met dit onderwerp

Calculus 1Wiskunde voor ingenieursDifferentiaalvergelijkingenOefenopgaven AP Calculus

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenOptimalisatieIntegralenRijen & reeksenMultivariabele analyseDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenVectoren: inwendig en uitwendig productPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenKansrekeningBeschrijvende statistiekNormale verdelingBetrouwbaarheidsintervallenHypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenLineaire regressie en correlatieChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Afgeleiden met antwoorden
Oefen Afgeleiden gratisOefen nu AfgeleidenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.