Kansrekening: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: kansberekening · voorwaardelijke kans · kansboom

Gratis oefenopgaven over Kansrekening met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: even waarschijnlijke uitkomsten, tellen en complement, binomiale verdeling.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
som ≥ 4dobbelsteen 1dobbelsteen 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

Er worden twee eerlijke dobbelstenen gegooid. Wat is de kans P dat de som minstens 4 is?

2 dobbelstenen≥ 4

Geef de kans als decimaal getal tussen 0 en 1.

Volgende opgave →
Oefen Kansrekening gratisOefen nu KansrekeningElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkeven waarschijnlijke uitkomsten
  2. Gemiddeldtellen en complement
  3. Moeilijkbinomiale verdeling

Belangrijke formules

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Leer Kansrekening vanaf nul

1Wat kans is

Een kans is een getal tussen 0 en 1 dat zegt hoe waarschijnlijk iets is. 0 betekent dat het nooit gebeurt, 1 betekent dat het altijd gebeurt.

Als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn, tel je ze:

P(A) = aantal gunstige uitkomsten / totaal aantal uitkomsten

Een zak bevat 3 rode, 5 blauwe en 2 groene ballen, in totaal 10. Als je er willekeurig één trekt, is P(blauw) = 5/10 = 0,5.

Een eerlijke dobbelsteen heeft 6 zijden, dus P(zes) = 1/6 ≈ 0,167 en P(even) = 3/6 = 0,5.

Een kans kan ook als percentage worden geschreven: 0,5 is 50%. Antwoorden op examens zijn meestal decimale getallen tussen 0 en 1.

Zelftoets Een zak bevat 2 rode, 8 blauwe en 4 groene ballen. Je trekt er willekeurig één. Wat is P(rood)?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Antwoord: 2/14 ≈ 0,143. Er zijn 2 + 8 + 4 = 14 ballen, en 2 zijn rood: 2/14 ≈ 0,143. Delen door 12 telt alleen de andere ballen, maar het totaal moet de rode ook bevatten.

2Regels voor het combineren van gebeurtenissen

  • Complement: P(niet A) = 1 − P(A). Gebruik het bij vragen over “minstens één”: P(minstens één) = 1 − P(geen).
  • En, onafhankelijke gebeurtenissen: vermenigvuldig. Twee eerlijke munten geven P(twee keer kop) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • Of: P(A of B) = P(A) + P(B) − P(A en B). Trek de overlap af zodat je hem niet twee keer telt.

Trekken zonder terugleggen verandert de zak. Als je één rode bal eruit haalt, is er één rode bal minder en één bal minder in totaal.

Met 5 rode en 4 blauwe ballen is P(twee rode) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Om groepen te tellen waarbij de volgorde niet uitmaakt, gebruik je combinaties. Het aantal manieren om k items uit n te kiezen is:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Hier is n! = n · (n − 1) · … · 1. Dus C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 commissies van 4 personen uit 6.

Zelftoets Een zak bevat 5 rode en 4 blauwe ballen. Je trekt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is P(beide rood)?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Antwoord: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 gebruiken vergeet dat de eerste rode bal niet meer in de zak zit.

3De binomiale verdeling

Sommige vragen herhalen hetzelfde experiment n keer: 5 onderdelen testen, 8 antwoorden raden, 3 keer een munt opgooien. Elke poging is een succes met kans p, onafhankelijk van de andere.

Het aantal successen X volgt dan een binomiale verdeling:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: de k successen.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: de n − k mislukkingen.
  • C(n, k): het aantal verschillende volgordes waarin de successen kunnen vallen.

Voor “hooguit één” tel je P(X = 0) en P(X = 1) op. Voor “minstens één” gebruik je 1 − P(X = 0).

Zelftoets Je gooit een eerlijke munt 3 keer op. Wat is de kans op precies 2 keer kop?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Antwoord: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. C(3, 2) vergeten geeft 0,125: dat is slechts één volgorde, zoals KKM, maar MKK en KMK tellen ook mee.

4De methode stap voor stap

  1. Noteer wat één uitkomst is en hoeveel uitkomsten er in totaal zijn.
  2. Vertaal de woorden: “en” betekent vermenigvuldigen, “of” betekent optellen (min de overlap), “niet” betekent 1 − P.
  3. Bereken bij “minstens één” eerst het complement “geen”.
  4. Zonder terugleggen: verlaag de aantallen na elke trekking. Of tel met combinaties.
  5. Herhaalde onafhankelijke pogingen met een vaste p: gebruik de binomiale formule.
  6. Controleer dat het antwoord tussen 0 en 1 ligt.

Een boomdiagram helpt als er meerdere stappen zijn: vermenigvuldig langs een tak, en tel de takken op die je nodig hebt.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een zak bevat 4 rode en 6 blauwe ballen. Je trekt twee ballen zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat minstens één ervan rood is?

1

Gebruik het complement

“Minstens één rood” heeft drie gevallen: rood–rood, rood–blauw en blauw–rood. Het tegenovergestelde, “geen rood”, heeft maar één geval: blauw–blauw.

P(minstens één rode) = 1 − P(beide blauw)
2

Eerste trekking

Er zijn 6 blauwe ballen van de 10.

P(eerste blauw) = 6/10
3

Tweede trekking

Eén blauwe bal is weg, dus er zijn nog 5 blauwe ballen van de 9.

P(beide blauw) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

In de boom is R een rode bal en B een blauwe. De vetgedrukte tak is blauw–blauw.

4

Neem het complement

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Controleer het antwoord

Tel met combinaties: er zijn C(10, 2) = 45 paren, en C(6, 2) = 15 daarvan zijn blauw–blauw. 15/45 = 1/3, hetzelfde als eerder.

De drie andere takken van de boom tellen op tot 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 en geven ook hetzelfde.

Antwoord

P = 2/3 ≈ 0,667

6Veelgemaakte fouten

  • Kansen optellen voor “minstens één” in plaats van 1 − P(geen) te gebruiken.
  • Vergeten de aantallen te verlagen bij trekken zonder terugleggen.
  • De factor C(n, k) vergeten in de binomiale formule.
  • Delen door het verkeerde totaal, bijvoorbeeld alleen de andere kleuren.
  • Een kans boven 1 of onder 0 geven. Dat wijst altijd op een fout.
Zelftoets Je gooit een eerlijke dobbelsteen twee keer. Wat is de kans op minstens één zes?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Antwoord: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(geen zes) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. 1/6 + 1/6 optellen geeft 1/3, wat het geval van twee zessen twee keer telt.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: even waarschijnlijke uitkomsten. Eén trekking uit een zak gekleurde ballen, of één worp met een dobbelsteen.
  • Gemiddeld: tellen en complementen. Commissies met C(n, k), of twee trekkingen zonder terugleggen.
  • Moeilijk: de binomiale verdeling. Precies k successen, of “hooguit één” als P(X = 0) + P(X = 1).

Geef het antwoord als decimaal getal tussen 0 en 1, afgerond op drie of vier decimalen.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

De tabel geeft de kansverdeling van X, maar er ontbreekt een kans. Bepaal P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Gevraagd: P(X = 1)

Hints tonen
  1. Alle kansen van een verdeling tellen op tot 1.
  2. Tel de bekende kansen op.
  3. P = 1 − 0,75.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Som van de bekende kansen

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Ontbrekende kans

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Antwoord

P(X = 1) = 0,25
Voorbeeld 2Gemiddeld
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Gevraagd: Var(X)

Hints tonen
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Dan is E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Variantie

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Antwoord

Var(X) = 1,848
Voorbeeld 3Moeilijk
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Een toets heeft 12 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?

n = 12p = 0,3k = 5

Gevraagd: P

Hints tonen
  1. Dit is een binomiale verdeling: vast aantal onafhankelijke pogingen, gelijke succeskans.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Antwoord

P = 0,1585

Vragen en antwoorden

Kansrekening: wat is het?

Een kans is een getal tussen 0 en 1 dat zegt hoe waarschijnlijk iets is. 0 betekent dat het nooit gebeurt, 1 betekent dat het altijd gebeurt.

Als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn, tel je ze:

Kansrekening: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Kansrekening: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Dat is de som van de bekende kansen. De ontbrekende is 1 min die som.
  • De waarden zijn niet even waarschijnlijk: gebruik dat alle kansen optellen tot 1.
  • E(X²) is niet de variantie: trek μ² af.
Kansrekening: wat oefen je?
  • Makkelijk: even waarschijnlijke uitkomsten
  • Gemiddeld: tellen en complement
  • Moeilijk: binomiale verdeling

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Daarna verder met

Statistiek voor evidence-based practice

Calculators

Binomiale verdeling berekenenPoissonverdeling berekenenPermutaties en combinaties berekenen (nPr en nCr)Verwachtingswaarde en variantie berekenen

Vakken met dit onderwerp

Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologieInleiding statistiekWiskunde voor ingenieursOefenopgaven AP StatisticsOefenen voor CFA Level I: kwantitatieve methoden en vastrentende waarden

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenAfgeleidenOptimalisatieIntegralenRijen & reeksenMultivariabele analyseDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenVectoren: inwendig en uitwendig productPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenBeschrijvende statistiekNormale verdelingBetrouwbaarheidsintervallenHypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenLineaire regressie en correlatieChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Kansrekening met antwoorden
Oefen Kansrekening gratisOefen nu KansrekeningElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.