Lineaire regressie en correlatie: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: regressieanalyse · correlatiecoëfficiënt · kleinste kwadraten

Gratis oefenopgaven over Lineaire regressie en correlatie met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: helling en snijpunt, correlatiecoëfficiënt, voorspelling.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
xy242352445555660760xy2465060

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Bereken het snijpunt met de y-as a.

n = 6
Volgende opgave →
Oefen Lineaire regressie en correlatie gratisOefen nu Lineaire regressie en correlatieElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkhelling en snijpunt
  2. Gemiddeldcorrelatiecoëfficiënt
  3. Moeilijkvoorspelling

Belangrijke formules

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Leer Lineaire regressie en correlatie vanaf nul

Hiervoor: Beschrijvende statistiek

1Wat regressie is

Je meet voor elk geval twee grootheden, bijvoorbeeld x = gestudeerde uren en y = examenscore. Elk paar is één punt in een spreidingsdiagram.

xy123456246810

Als de punten ruwweg langs een rechte lijn liggen, kun je ze met een lijn beschrijven en daarmee y uit x voorspellen. Dit is lineaire regressie.

ŷ = a + b · x
  • ŷ (“y-dak”) is de voorspelde waarde van y.
  • b is de richtingscoëfficiënt: hoeveel ŷ verandert als x met 1 toeneemt.
  • a is het snijpunt met de y-as: de waarde van ŷ bij x = 0.
Zelftoets Een regressielijn is ŷ = 40 + 5x, met x in gestudeerde uren en ŷ de voorspelde score. Wat betekent de 5?
  1. De lijn gaat door (5, 40)
  2. De score is 5 keer de uren
  3. Een student die niet studeert scoort 5
  4. Elk extra uur voegt ongeveer 5 punten toe

Antwoord: Elk extra uur voegt ongeveer 5 punten toe. De richtingscoëfficiënt b is de verandering in ŷ per eenheid x. De voorspelde score bij x = 0 is het snijpunt a = 40, niet 5.

2De kleinste-kwadratenlijn

Geen enkele lijn gaat door elk punt. De verticale afstand van een punt tot de lijn is zijn residu, e = y − ŷ.

De kleinste-kwadratenlijn is de lijn met de kleinst mogelijke som van gekwadrateerde residuen. De richtingscoëfficiënt en het snijpunt volgen uit sommen van afwijkingen van de gemiddelden:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

De lijn gaat altijd door het punt van de gemiddelden (x̄, ȳ). Daarom is a = ȳ − b · x̄.

Als alleen de sommen gegeven zijn, gebruik dan de snelle formules Sxx = Σx² − (Σx)²/n en Sxy = Σxy − ΣxΣy/n.

Zelftoets Voor een dataset is x̄ = 4, ȳ = 10 en b = 2. Wat is het snijpunt a?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Antwoord: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Optellen in plaats van aftrekken geeft 18, en 10 is ȳ zelf, wat de richtingscoëfficiënt vergeet.

3De correlatiecoëfficiënt

De correlatiecoëfficiënt r van Pearson meet hoe dicht de punten bij een rechte lijn liggen. Hij ligt altijd tussen −1 en 1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r dicht bij 1: een sterke stijgende trend.
  • r dicht bij −1: een sterke dalende trend, zoals autoprijs tegen autoleeftijd.
  • r dicht bij 0: geen lineair verband.

r heeft hetzelfde teken als de richtingscoëfficiënt b. Zijn kwadraat r² is het deel van de variatie in y dat de lijn verklaart.

Een sterke correlatie bewijst niet dat x y veroorzaakt. Beide kunnen van een derde grootheid afhangen.

Zelftoets Voor autoleeftijd x en prijs y is r = −0,95. Wat zegt dat je?
  1. De berekening is fout, want r is negatief
  2. Een sterk dalend lineair verband
  3. Een zwak verband
  4. Oudere auto’s kosten meer

Antwoord: Een sterk dalend lineair verband. r dicht bij −1 betekent dat de punten dicht bij een dalende lijn liggen: de prijs daalt als de leeftijd stijgt. Een negatieve r is volkomen geldig; alleen waarden buiten −1 tot 1 zijn onmogelijk.

4De methode stap voor stap

  1. Bereken de gemiddelden x̄ en ȳ.
  2. Maak een tabel met de kolommen x − x̄, y − ȳ, hun product en (x − x̄)². Voeg (y − ȳ)² toe als r gevraagd wordt.
  3. Tel de kolommen op voor Sxy, Sxx en Syy.
  4. Richtingscoëfficiënt b = Sxy/Sxx, dan snijpunt a = ȳ − b · x̄.
  5. Correlatie r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Voorspelling: vul x in ŷ = a + bx in. Residu: e = y − ŷ.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Er worden vijf paren gemeten: x = 1, 2, 3, 4, 5 en y = 3, 5, 6, 8, 8. Bepaal de kleinste-kwadratenlijn ŷ = a + b·x en voorspel ŷ voor x = 6.

1

De gemiddelden

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Afwijkingen

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

De sommen

Vermenigvuldig de paren: 6, 1, 0, 2, 4. Kwadrateer de x-afwijkingen: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Richtingscoëfficiënt en snijpunt

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

De stippellijnen zijn de residuen. Ze zijn klein, dus de lijn past goed.

5

Voorspel

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

Controle: de lijn gaat door het punt van de gemiddelden, 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

Antwoord

ŷ = 2,1 + 1,3x, en de voorspelling voor x = 6 is ŷ = 9,9.

6Veelgemaakte fouten

  • Het residu berekenen als ŷ − y in plaats van y − ŷ.
  • Delen door Syy in plaats van Sxx voor de richtingscoëfficiënt.
  • a en b door elkaar halen: de richtingscoëfficiënt vermenigvuldigt x.
  • Vergeten dat r hetzelfde teken heeft als de richtingscoëfficiënt.
  • Ver buiten het bereik van de gegevens voorspellen. De rechte lijn geldt daar misschien niet.
Zelftoets De lijn is ŷ = 2,1 + 1,3x. Een nieuw punt (6, 8) wordt gemeten. Wat is zijn residu?
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

Antwoord: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9, dus e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. Het punt ligt onder de lijn. 1,9 berekent ŷ − y, de verkeerde kant op.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: richtingscoëfficiënt en snijpunt. Vijf paren in een tabel; bepaal b of a van de kleinste-kwadratenlijn.
  • Gemiddeld: de correlatiecoëfficiënt r, uit de gegevens of uit gegeven sommen.
  • Moeilijk: voorspelling. Gebruik de lijn om ŷ voor een nieuwe x te voorspellen, of bepaal het residu van een nieuwe waarneming.

Een snelle controle: het teken van b en van r moet overeenkomen met de richting van het spreidingsdiagram.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
xy2441262082210301235xy510102030

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Bereken het snijpunt met de y-as a.

n = 6

Gevraagd: a

Hints tonen
  1. Bereken eerst de helling b = Sxy/Sxx.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. De lijn gaat door (x̄, ȳ), dus a = ȳ − b·x̄.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Helling

b = 211/70 = 3,014

Snijpunt met de y-as

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

Antwoord

a = −0,6
Voorbeeld 2Gemiddeld
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

Gevraagd: r

Hints tonen
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Correlatiecoëfficiënt

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

Antwoord

r = 0,9746
Voorbeeld 3Moeilijk
xy123221318412513xy241520x = 1,5

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 1,5.

n = 5x = 1,5

Gevraagd: ŷ

Hints tonen
  1. Bepaal eerst de kleinstekwadratenlijn: b = Sxy/Sxx en a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Regressielijn

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

Voorspelling

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

Antwoord

ŷ = 21,75

Vragen en antwoorden

Lineaire regressie en correlatie: wat is het?

Je meet voor elk geval twee grootheden, bijvoorbeeld x = gestudeerde uren en y = examenscore. Elk paar is één punt in een spreidingsdiagram.

Als de punten ruwweg langs een rechte lijn liggen, kun je ze met een lijn beschrijven en daarmee y uit x voorspellen. Dit is lineaire regressie.

Lineaire regressie en correlatie: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Lineaire regressie en correlatie: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Het snijpunt is a = ȳ − b·x̄: de lijn gaat door (x̄, ȳ).
  • ȳ is de hoogte van de lijn bij x = x̄, niet bij x = 0. Gebruik a = ȳ − b·x̄.
  • Gebruik dezelfde deler (n of n − 1) in de covariantie en in beide standaardafwijkingen. Met Sxy, Sxx en Syy vallen de delers weg.
Lineaire regressie en correlatie: wat oefen je?
  • Makkelijk: helling en snijpunt
  • Gemiddeld: correlatiecoëfficiënt
  • Moeilijk: voorspelling

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Beschrijvende statistiek

Calculators

Calculator voor lineaire regressieCorrelatiecoëfficiënt berekenen (Pearson en Spearman)

Vakken met dit onderwerp

Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologieInleiding statistiekStatistiek 2: Inferentiële statistiekOefenopgaven AP StatisticsOefenen voor CFA Level I: kwantitatieve methoden en vastrentende waarden

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenAfgeleidenOptimalisatieIntegralenRijen & reeksenMultivariabele analyseDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenVectoren: inwendig en uitwendig productPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenKansrekeningBeschrijvende statistiekNormale verdelingBetrouwbaarheidsintervallenHypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Lineaire regressie en correlatie met antwoorden
Oefen Lineaire regressie en correlatie gratisOefen nu Lineaire regressie en correlatieElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.