Matrices & determinanten: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: determinant · inverse matrix · matrixrekening
Gratis oefenopgaven over Matrices & determinanten met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: 2×2-determinant, 3×3 en producten, eigenwaarden en stelsels.
Leer Matrices & determinanten vanaf nul
1Matrices en de 2×2-determinant
Een matrix is een tabel met getallen in rijen en kolommen. Een matrix met 2 rijen en 3 kolommen heet een 2×3-matrix: eerst rijen, dan kolommen.
Ingenieurs gebruiken matrices om veel vergelijkingen tegelijk op te schrijven. Het stelsel 2x + y = 5 en x − y = 1 wordt opgeslagen als de matrix [2 1; 1 −1] van de coëfficiënten.
Een vierkante matrix heeft één bijzonder getal, haar determinant, geschreven det A. Voor een 2×2-matrix is het het product van de ene diagonaal min het product van de andere.
det A = a·d − b·c
Voor [3 1; 2 4] is de determinant 3·4 − 1·2 = 10.
Als det A = 0, heeft de matrix geen inverse, en het stelsel vergelijkingen heeft geen enkelvoudige oplossing.
Zelftoets Wat is de determinant van [4 2; 3 5]? (Rij 1 is 4 2, rij 2 is 3 5.)
- 14
- 26
- 9
- −14
Antwoord: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. De twee producten optellen geeft 26, en bc − ad nemen geeft −14.
23×3-determinanten en producten
Ontwikkel een 3×3-matrix langs de eerste rij. Elk element wordt vermenigvuldigd met zijn minor: de 2×2-determinant die overblijft als je de rij en kolom van dat element schrapt.
det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13
De tekens gaan + − + langs de eerste rij. Dit tekenpatroon vergeet je het makkelijkst.
Een matrixproduct AB wordt opgebouwd uit rijen van A en kolommen van B. Het element in rij i, kolom j is rij i van A maal kolom j van B: vermenigvuldig paren en tel op.
[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]
Het product bestaat alleen als A evenveel kolommen heeft als B rijen. In het algemeen is AB niet gelijk aan BA.
Zelftoets A = [2 1; 0 3] en B = [1 4; 2 1]. Wat is het element in rij 1, kolom 2 van AB?
- 13
- 4
- 6
- 9
Antwoord: 9. Rij 1 van A is (2, 1) en kolom 2 van B is (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Alleen de overeenkomstige elementen vermenigvuldigen geeft 1·4 = 4, en 13 is het element van BA.
3Eigenwaarden en stelsels
Een eigenwaarde λ van A is een getal waarvoor A·v = λ·v voor een vector v ≠ 0. De matrix rekt die vector alleen uit, ze draait hem niet.
Je vindt de eigenwaarden met de karakteristieke vergelijking. Hier is I de eenheidsmatrix [1 0; 0 1].
det(A − λI) = 0
Voor een 2×2-matrix wordt dit een kwadratische vergelijking. De middelste coëfficiënt is het spoor a + d, en de constante is det A:
λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0
Voor [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, dus (λ − 2)(λ − 5) = 0 en de eigenwaarden zijn 2 en 5.
De regel van Cramer lost een stelsel op met determinanten. Vervang kolom i van A door het rechterlid om Ai te krijgen, dan is xi = det Ai / det A.
Voor 2x + y = 5 en x − y = 1: det A = −3 en det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, dus x = −6/−3 = 2.
Zelftoets Wat is de grootste eigenwaarde van [2 1; 1 2]?
- 1
- 2
- 3
- 4
Antwoord: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 geeft (λ − 1)(λ − 3) = 0, dus de eigenwaarden zijn 1 en 3. 4 is het spoor, de som van de eigenwaarden, niet een ervan.
4De methode stap voor stap
- Neem de matrix zorgvuldig over, met elk minteken.
- 2×2-determinant: ad − bc.
- 3×3-determinant: schrap voor elk element van de eerste rij zijn rij en kolom en bepaal de 2×2-minor.
- Combineer met de tekens + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
- Eigenwaarden: schrijf λ² − (a + d)λ + det A = 0 en los de kwadratische vergelijking op.
- Controle: een rij nullen, of twee gelijke rijen, geeft altijd det A = 0.
Tip: ontwikkel langs een rij of kolom met veel nullen. Elk nulelement bespaart je een minor.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeldBepaal de determinant van de 3×3-matrix A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].
1Schrap rij 1 en kolom 1 van het element 2. Wat overblijft is [3 1; 2 4].
M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2Schrap rij 1 en kolom 2 van het element 1. Wat overblijft is [1 1; 0 4].
M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3Het element a13 is 0, dus zijn term is 0 wat de minor ook is. Je kunt hem overslaan.
4det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5Voor 3×3-matrices geeft de regel van Sarrus dezelfde waarde: drie “neerwaartse” diagonaalproducten min drie “opwaartse” diagonaalproducten.
(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
6Veelgemaakte fouten
- Het minteken voor de middelste term in de 3×3-ontwikkeling vergeten.
- bc − ad uitrekenen in plaats van ad − bc.
- Een minteken kwijtraken als een element negatief is: −2 · −3 is +6.
- Matrices element voor element vermenigvuldigen in plaats van rij maal kolom.
- Het spoor of een diagonaalelement als eigenwaarde nemen in plaats van de karakteristieke vergelijking op te lossen.
Zelftoets Wat is de determinant van [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2]?
- 10
- 14
- −10
- −14
Antwoord: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. + gebruiken voor de middelste term geeft 2 + 12 = 14, de meest voorkomende slip.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
- Makkelijk: de determinant van een 2×2-matrix, vaak met negatieve elementen. Gebruik ad − bc.
- Gemiddeld: een 3×3-determinant of een matrixproduct. Ontwikkel langs de eerste rij met + − +.
- Moeilijk: eigenwaarden van een 2×2-matrix, of één onbekende van een 2×2-stelsel met de regel van Cramer.
Een snelle controle voor eigenwaarden: ze moeten optellen tot het spoor a + d en vermenigvuldigen tot det A.
Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app