Numerieke methoden: oefenopgaven en tentamenvragen

Antwoorden berekenen waarvoor geen formule bestaat: nulpunten van vergelijkingen met bisectie en Newton–Raphson, interpolatie in tabellen, numerieke integratie met de trapeziumregel en de regel van Simpson, en differentiaalvergelijkingen met Euler, Heun en Runge–Kutta. Tentamens vragen om een paar iteraties in een tabel en om de grootte van de fout.

Oefen dit vak gratisDit vak oefenenMaak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Samenvattingspakket (pdf)Formuleoverzichten, methodestappen en oefenopgaven met volledige oplossingen, klaar om af te drukken.

Onderwerpen in dit vak

  1. Numerieke methodennulpunten en interpolatie · trapeziumregel en regel van Simpson · Euler, Heun en Runge–Kuttarekenopgaven
  2. Rijen & reeksenrekenkundige en meetkundige reeksen · convergentie en machtreeksen · Taylor- en Maclaurinpolynomenrekenopgaven
  3. Matrices & determinanten2×2-determinant · 3×3 en producten · eigenwaarden en stelselsrekenopgaven
  4. Differentiaalvergelijkingenexponentiële groei en afname · Afkoelingswet van Newton · eerste orde lineairrekenopgaven

Tentamentips voor Numerieke methoden

  • Houd in elke iteratie minstens zes significante cijfers aan en rond alleen het eindantwoord af.
  • Schrijf de gewichten van de integratieregel onder de waardentabel voordat je iets optelt.
  • Gebruik Taylorpolynomen om de fout te verklaren: de fout van Euler is evenredig met h, die van Simpson met h⁴.

Uitgewerkte voorbeelden

Numerieke methodenMakkelijk

De bisectiemethode begint op een interval met lengte 4. Elke stap halveert het interval. Hoeveel stappen n zijn minstens nodig voordat het interval korter is dan 0,0001?

b − a = 4ε = 0,0001

Gevraagd: n

Hints tonen
  1. Na n stappen heeft het interval lengte (b − a)/2ⁿ.
  2. Los 4/2ⁿ < 0,0001 op, dus 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15,29
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Nulpunten vinden en interpolatie: bisectie houdt een interval [a, b] aan waarop f van teken wisselt; elke stap neemt het midden c = (a + b)/2 en houdt de helft waarin het teken nog wisselt, dus na n stappen is het interval (b − a)/2ⁿ breed. Newton–Raphson volgt de raaklijn naar de as: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); dicht bij een enkelvoudig nulpunt verdubbelt het ongeveer het aantal juiste cijfers per stap. Lineaire interpolatie tussen twee tabelpunten: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Voorwaarde

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Logaritme

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16

Controle

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Antwoord

n = 16
Rijen & reeksenGemiddeld
kSn​12345678910S = ?

Bepaal de som S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Gevraagd: S

Hints tonen
  1. Partiële breuken: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Schrijf de eerste paar termen uit: de meeste vallen weg (een telescoopsom).
  3. Wat overblijft is (12/3)·(1 + … + 1/3).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.

Partieelbreuken

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annuleren

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Antwoord

S = 7,333

Zo werkt het oefenen

  • “Dit vak oefenen” mengt opgaven uit al zijn onderwerpen, net als een echt tentamen.
  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Proeftentamens zijn getimed en hebben geen hints, en aan het eind krijg je je score en een volledige bespreking.

Calculators voor dit vak

Calculator voor determinant en inverse van een matrixEigenwaarden en eigenvectoren berekenenCalculator voor halveringstijd en exponentieel vervalStelsel lineaire vergelijkingen oplossen (2×2 en 3×3)

Gerelateerde vakken

Technische wiskunde 2Wiskunde voor ingenieursDifferentiaalvergelijkingenAnalyse 2Oefenopgaven AP CalculusCalculus 1Inleiding statistiekStatistiek 2: Inferentiële statistiek
Oefen dit vak gratisDit vak oefenenMaak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.