Analyse 2: oefenopgaven en tentamenvragen

De tweede analysecursus: integratietechnieken, rijen en reeksen met convergentietesten, machtreeksen en Taylorpolynomen, en analyse in meerdere variabelen met partiële afgeleiden, gradiënten, kritieke punten en dubbele integralen. Afhankelijk van het curriculum wordt een deel van deze stof als Analyse 3 gegeven.

Oefen dit vak gratis Dit vak oefenen Maak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Samenvattingspakket (pdf)Formuleoverzichten, methodestappen en oefenopgaven met volledige oplossingen, klaar om af te drukken.

Onderwerpen in dit vak

Tentamentips voor Analyse 2

Controleer vóór elke convergentietest of de termen naar 0 gaan; zo niet, dan divergeert de reeks.
Schrijf het Taylorpolynoom met de faculteiten op hun plaats op voordat je een getal invult.
Schets bij een dubbele integraal eerst het gebied: de schets geeft de grenzen van de binnenste integraal.

Uitgewerkte voorbeelden

IntegralenMakkelijk

Het gebied onder y = 0,5x van x = 0 tot x = 3 wordt om de x-as gewenteld. Bepaal het volume V van het lichaam (een kegel).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Gevraagd: V

Hints tonen

Een plak bij x is een schijf met straal y = 0,5x.
V = π∫₀³ (0,5x)² dx.
= π·0,25·x³/3.

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Omwentelingslichamen: als je het gebied onder y = f(x) van x = a tot x = b om de x-as wentelt, ontstaat een lichaam waarvan de doorsnede bij x een schijf met straal f(x) is. Het optellen van de schijven geeft V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Ligt het gebied tussen een buitenste kromme R(x) en een binnenste kromme r(x), dan is elke plak een ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kwadrateer de stralen voordat je ze van elkaar aftrekt.

Schijfmethode

V = π∫₀³ 0,25x² dx

Integreren

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Antwoord

V = 7,069

Controle: een kegel met straal 1,5 en hoogte 3 heeft (1/3)πr²h = 7,069.

Rijen & reeksenGemiddeld

Bepaal de som S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)).

a_k = 12/(k(k + 3))

Gevraagd: S

Hints tonen

Partiële breuken: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
Schrijf de eerste paar termen uit: de meeste vallen weg (een telescoopsom).
Wat overblijft is (12/3)·(1 + … + 1/3).

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |a_k+1/a_k|; wortelcriterium: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σc_k(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |c_k/c_k+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.

Partieelbreuken

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annuleren

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Antwoord

S = 7,333

Zo werkt het oefenen

“Dit vak oefenen” mengt opgaven uit al zijn onderwerpen, net als een echt tentamen.
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Proeftentamens zijn getimed en hebben geen hints, en aan het eind krijg je je score en een volledige bespreking.

Calculators voor dit vak

Calculator voor halveringstijd en exponentieel verval Integraalcalculator (bepaald en onbepaald)

Gerelateerde vakken

Technische wiskunde 2 Oefenopgaven AP Calculus Wiskunde voor ingenieurs Differentiaalvergelijkingen Numerieke methoden Calculus 1 Inleiding statistiek Statistiek 2: Inferentiële statistiek

Oefen dit vak gratis Dit vak oefenen Maak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.