Integraalcalculator (bepaald en onbepaald)
Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.
Resultaat
De primitieve van 1/x is ln|x|: de absolute waarde maakt haar ook geldig voor negatieve x.
Vind een primitieve of bereken een bepaalde integraal. Voor sommen van standaardtermen, zoals machten van x, 1/x, e^(ax + b), sin, cos en sec² van ax + b, (ax + b)ⁿ en ln(ax + b), integreert de calculator term voor term en berekent F(b) − F(a) exact. Elke andere continue functie wordt numeriek geïntegreerd met de adaptieve regel van Simpson, en de calculator waarschuwt voor oneigenlijke integralen.
Stapsgewijze oplossing
Lees de functie en de grenzen
Zoek een primitieve, term voor term
Bereken F(b) − F(a)
Numerieke controle
Belangrijke formules
- Machtsregel
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Bepaalde integraal
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Standaardintegralen
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Oppervlakte tussen grafieken
- ∫ab (f − g) dx
Een bepaalde integraal berekenen
- Splits de integrand in een som van termen en integreer elke term apart; constante factoren blijven voorop staan.
- Gebruik de machtsregel ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) voor n ≠ −1, en ∫ 1/x dx = ln|x|.
- Deel voor een functie van ax + b door a: ∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a en ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a.
- Bereken de primitieve in de boven- en ondergrens en trek af: ∫ f(x) dx van a tot b = F(b) − F(a). De constante C valt weg.
- Controleer of de integrand continu is op [a, b]. Als hij daar een verticale asymptoot heeft, zoals 1/x bij x = 0, is de integraal oneigenlijk en is een limiet nodig.
Vragen en antwoorden
Welke integralen lost de calculator exact op?
Sommen van constante veelvouden van xⁿ (elke rationale n), 1/x, e^(ax + b), kˣ, sin(ax + b), cos(ax + b), sec²(ax + b), csc²(ax + b), sec·tan en csc·cot van ax + b, (ax + b)ⁿ en ln(ax + b). Producten zoals x·eˣ vragen om partiële integratie en worden in plaats daarvan numeriek berekend.
Hoe nauwkeurig is de numerieke integratie?
De adaptieve regel van Simpson blijft de delen van het interval halveren waar de schatting verandert, tot ze bij gladde functies op ongeveer tien significante cijfers overeenkomt. De calculator toont het aantal functie-evaluaties en een foutschatting.
Wat is de + C?
De integratieconstante. Elke functie heeft oneindig veel primitieven die door een constante verschillen, omdat de afgeleide van een constante nul is. In een bepaalde integraal valt ze weg.
Waarom krijg ik een foutmelding over een oneigenlijke integraal?
De integrand is ergens in [a, b] ongedefinieerd of oneindig, bijvoorbeeld 1/x op [−1, 1] of tan(x) over π/2 heen. Zulke integralen vragen om een limiet en kunnen divergeren, dus de calculator geeft er geen waarde voor.
Kan ik π gebruiken in de grenzen?
Ja. Typ pi, pi/2 of 2pi, of e, als grens; de integraal van sin(x) van 0 tot pi is bijvoorbeeld 2.
Oefen het zelf
Oefen Integralen
Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.