Binomiale verdeling berekenen
Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.
Resultaat
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,02825 | 0,02825 |
| 1 | 0,1211 | 0,1493 |
| 2 | 0,2335 | 0,3828 |
| 3 | 0,2668 | 0,6496 |
| 4 | 0,2001 | 0,8497 |
| 5 | 0,1029 | 0,9527 |
| 6 | 0,03676 | 0,9894 |
| 7 | 0,009002 | 0,9984 |
| 8 | 0,001447 | 0,9999 |
| 9 | 0,0001378 | 1 |
| 10 | 5,905 × 10⁻⁶ | 1 |
Bereken binomiale kansen voor n onafhankelijke pogingen die elk met kans p slagen: precies x successen, hooguit x, minstens x, minder dan x of meer dan x. De calculator toont de binomiale formule, elke term die wordt opgeteld (of het kortere complement), het gemiddelde np en de standaardafwijking √(np(1 − p)). Voor n tot 30 staat ook de hele verdeling in een tabel.
Stapsgewijze oplossing
Binomiale kansformule
Tel de kansen op
Gemiddelde en standaardafwijking
Belangrijke formules
- Binomiaal
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- Complement
- P(not A) = 1 − P(A)
Hoe bereken je binomiale kansen
- Controleer of de situatie binomiaal is: een vast aantal pogingen n, twee uitkomsten per poging, elke keer dezelfde kans op succes p en onafhankelijke pogingen.
- Voor precies x successen gebruik je P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ, waarbij C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) telt op hoeveel volgordes de successen kunnen voorkomen.
- Voor “hooguit x” tel je P(X = 0) tot en met P(X = x) op. Voor “minstens x” tel je P(X = x) tot en met P(X = n) op.
- Als de som veel termen heeft, gebruik dan het complement: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1).
- Vertaal de woorden zorgvuldig: “minder dan 4” is X ≤ 3 en “meer dan 4” is X ≥ 5.
Vragen en antwoorden
Wat zijn het gemiddelde en de standaardafwijking van een binomiale verdeling?
Het gemiddelde is μ = np en de variantie is σ² = np(1 − p), dus de standaardafwijking is σ = √(np(1 − p)). Voor n = 10 en p = 0,3 geeft dat μ = 3 en σ = 1,449.
Wat is het verschil tussen “minstens” en “meer dan”?
“Minstens 3” omvat 3: P(X ≥ 3). “Meer dan 3” niet: P(X > 3) = P(X ≥ 4). Bij een discrete verdeling zijn dit verschillende getallen, kies dus de optie die bij de formulering van de vraag past.
Waarom gebruikt de calculator soms het complement?
Omdat alle kansen samen 1 zijn, geldt P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1). Als het complement minder termen heeft, is het met de hand sneller, en de stappen laten die route zien. Het resultaat is hetzelfde.
Hoe groot mag n zijn?
Tot 10 000 pogingen. De termen worden met logaritmen berekend, zodat de grote faculteiten niet overlopen en de kansen nauwkeurig blijven.
Wanneer is de binomiale verdeling niet het juiste model?
Als de pogingen niet onafhankelijk zijn of p verandert, bijvoorbeeld bij trekken zonder teruglegging uit een kleine groep: dat volgt de hypergeometrische verdeling. Als n groot is en p klein, is de Poissonverdeling met λ = np een goede benadering.
Oefen het zelf
Oefen Kansrekening
Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.