Permutaties en combinaties berekenen (nPr en nCr)
Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.
Resultaat
Tel de manieren om r items uit n te kiezen. Permutaties, nPr, tellen geordende rangschikkingen; combinaties, nCr, tellen selecties waarbij de volgorde niet telt. De calculator geeft ook de aantallen als items herhaald mogen worden, en rekent met exacte gehele getallen voor n en r tot 1000: de stappen tonen elk cijfer, zelfs bij zeer grote resultaten.
Stapsgewijze oplossing
Permutaties: de volgorde telt
Combinaties: de volgorde telt niet
Met herhaling toegestaan
Belangrijke formules
- Permutaties
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- Combinaties
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- Met herhaling
- nr als de volgorde ertoe doet, C(n + r − 1, r) als dat niet zo is
Hoe bereken je permutaties en combinaties
- Bepaal of de volgorde telt. Mensen op een rij zetten, een eerste en tweede prijs uitreiken of een code vormen: de volgorde telt, dus gebruik permutaties. Een team kiezen of een hand kaarten: de volgorde telt niet, dus gebruik combinaties.
- Permutaties: nPr = n!/(n − r)!, het product van de r factoren n·(n − 1)···(n − r + 1).
- Combinaties: nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!. Delen door r! haalt de r! volgordes van elke selectie weg.
- Met herhaling toegestaan geven geordende keuzes nʳ en ongeordende keuzes C(n + r − 1, r).
- Controleer met een klein geval: C(4, 2) = 6 en P(4, 2) = 12, omdat elk paar in 2 volgordes kan worden geschreven.
Vragen en antwoorden
Wat is het verschil tussen een permutatie en een combinatie?
Een permutatie is een geordende rangschikking en een combinatie is een ongeordende selectie. Uit de letters A, B en C kun je 6 geordende paren vormen (AB, BA, AC, CA, BC, CB) maar slechts 3 ongeordende paren ({A, B}, {A, C}, {B, C}).
Waarom is C(n, r) gelijk aan C(n, n − r)?
De r items kiezen die je meeneemt is hetzelfde als de n − r items kiezen die je achterlaat. Bijvoorbeeld C(10, 3) = C(10, 7) = 120.
Wat is 0!?
0! = 1. Daardoor werken de formules aan de randen: C(n, 0) = C(n, n) = 1, omdat er precies één manier is om niets of alles te kiezen.
Wat zijn combinaties met herhaling?
Ongeordende keuzes waarbij hetzelfde item meer dan eens gekozen mag worden, zoals 3 bolletjes uit 10 ijssmaken. Het aantal is C(n + r − 1, r), dus C(12, 3) = 220 in dat voorbeeld.
Waar worden combinaties gebruikt in de kansrekening?
In de binomiale formule telt C(n, x) op hoeveel volgordes x successen bij n pogingen kunnen voorkomen. Bij loterijen en kaartspellen is de kans op een hand het aantal gunstige combinaties gedeeld door het totale aantal combinaties.
Oefen het zelf
Oefen Kansrekening
Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.