Normale verdeling berekenen
Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.
Resultaat
Bepaal kansen voor elke normale verdeling N(μ, σ²): de oppervlakte links of rechts van een waarde, tussen twee waarden of in beide staarten. De inverse modi werken terug van een oppervlakte naar de waarde x, zo vind je percentielen en grenswaarden. Bij elk antwoord staan de z-scores en de gebruikte Φ-waarden, zodat je ze kunt vergelijken met een standaardnormale tabel.
Stapsgewijze oplossing
Standaardiseren
Oppervlakten onder de standaardnormale kromme
Belangrijke formules
- z-score
- z = (x − μ)/σ
- Onder x
- P(X < x) = Φ(z)
- Boven x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tussen
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentiel
- x = μ + z·σ
Hoe bereken je een kans bij een normale verdeling
- Noteer het gemiddelde μ en de standaardafwijking σ. Als de variantie σ² gegeven is, neem dan eerst de wortel.
- Standaardiseer elke waarde met z = (x − μ)/σ. De z-score geeft aan hoeveel standaardafwijkingen de waarde boven of onder het gemiddelde ligt.
- Zoek Φ(z) op, de oppervlakte links van z onder de standaardnormale kromme, in een tabel of met een rekenmachine.
- Combineer de oppervlakten: P(X < a) = Φ(z), P(X > a) = 1 − Φ(z) en P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
- Om terug te rekenen vanuit een oppervlakte zoek je de z met Φ(z) gelijk aan de linkeroppervlakte, en reken je die terug met x = μ + z·σ.
Vragen en antwoorden
Wat is het verschil tussen P(X < a) en P(X ≤ a)?
Bij een continue verdeling zoals de normale verdeling is er geen verschil. De kans op één exacte waarde is nul, dus P(X < a) = P(X ≤ a). Bij discrete verdelingen zoals de binomiale en de Poissonverdeling is dat anders.
Hoe vind ik een percentiel van een normale verdeling?
Gebruik de inverse modus met een linkeroppervlakte. Het 90e percentiel is de waarde x met P(X < x) = 0,90: z = Φ⁻¹(0,90) = 1,2816, dus x = μ + 1,2816σ. Voor een grens van de beste 10% gebruik je de rechteroppervlakte 0,10, wat dezelfde waarde geeft.
Wat zegt de 68–95–99,7-regel?
Ongeveer 68% van een normale verdeling ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde, ongeveer 95% binnen twee (nauwkeuriger 1,96σ) en ongeveer 99,7% binnen drie. Zo controleer je snel of een antwoord in de juiste orde van grootte ligt.
Waarom geeft mijn z-tabel een iets ander antwoord?
Een gedrukte tabel rondt z af op twee decimalen en Φ(z) op vier. De rekenmachine berekent Φ numeriek, veel nauwkeuriger dan een gedrukte z-tabel, ook ver in de staarten, en toont het resultaat in 4 significante cijfers, dus antwoorden uit een tabel kunnen in het laatste cijfer verschillen.
Wanneer mag ik de normale verdeling gebruiken bij een binomiaal vraagstuk?
Als np en n(1 − p) allebei minstens ongeveer 10 zijn, lijkt een binomiale verdeling sterk op een normale verdeling met μ = np en σ = √(np(1 − p)). Tel of trek 0,5 af bij de grens (de continuïteitscorrectie). Gebruik voor een exact antwoord de calculator voor de binomiale verdeling.
Oefen het zelf
Oefen Normale verdeling
Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.