Normale verdeling: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: normaalverdeling · standaardnormale verdeling · z-score

Gratis oefenopgaven over Normale verdeling met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: oppervlakte in één staart, oppervlakte tussen twee waarden, percentielen.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
μ = 6567,5P = ?

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt boven 67,5 punten? Bereken P(X > x) als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Volgende opgave →
Oefen Normale verdeling gratisOefen nu Normale verdelingElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkoppervlakte in één staart
  2. Gemiddeldoppervlakte tussen twee waarden
  3. Moeilijkpercentielen

Zo los je opgaven over Normale verdeling op

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Veelgemaakte fouten

  • De tabel aflezen voor de verkeerde staart.
  • Vergeten door σ te delen.
  • Het teken van z omdraaien bij percentielen onder 50%.

Belangrijke formules

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Leer Normale verdeling vanaf nul

Hiervoor: Beschrijvende statistiek

1De klokvormige kromme

Veel grootheden, zoals lengtes, IQ-scores of het gewicht van pakjes uit een machine, volgen een normale verdeling. De meeste waarden liggen dicht bij het midden, en waarden ver weg zijn zeldzaam.

De grafiek is een symmetrische klok. Hij heeft twee getallen: het gemiddelde μ, waar de top ligt, en de standaardafwijking σ, die de breedte bepaalt.

7085100μ115130

Het kernidee: een kans is een oppervlak onder de kromme. Het totale oppervlak is 1. Het gearceerde linkerdeel heeft oppervlak 0,5, dus de helft van alle waarden ligt onder het gemiddelde.

Ongeveer 68% van de waarden ligt binnen één σ van het gemiddelde, en ongeveer 95% binnen twee σ.

Zelftoets Pakjes hebben een normaal verdeeld gewicht met gemiddelde 500 g. Welk deel van de pakjes weegt minder dan 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Het hangt van σ af

Antwoord: 0,5. De kromme is symmetrisch rond het gemiddelde, dus precies de helft van het oppervlak ligt onder μ, wat σ ook is. 0,68 is het oppervlak binnen één σ aan beide kanten.

2z-scores en de tabel

Elke normale verdeling wordt dezelfde standaardnormale kromme (gemiddelde 0, σ = 1) als je een waarde x omzet in een z-score:

z = (x − μ) / σ

De tabel geeft Φ(z): het oppervlak links van z. Bijvoorbeeld Φ(1,2) = 0,8849, dus 88,49% van de waarden ligt onder z = 1,2.

  • Onder x: P(X < x) = Φ(z).
  • Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z), omdat het totale oppervlak 1 is.
  • Voor een negatieve z: Φ(−z) = 1 − Φ(z), vanwege de symmetrie. Dus Φ(−1,2) = 0,1151.

Waarden die je vaak tegenkomt: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Zelftoets Φ(1,2) = 0,8849. Wat is P(Z > 1,2)?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Antwoord: 0,1151. De tabel geeft het oppervlak links. Het oppervlak rechts is 1 − 0,8849 = 0,1151. 0,8849 direct gebruiken leest de verkeerde staart.

3Tussen twee waarden en percentielen

Voor het oppervlak tussen twee waarden trek je de twee linkeroppervlakken van elkaar af: alles onder de bovenste waarde, min alles onder de onderste waarde.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Een percentiel werkt achterstevoren. Het 90e percentiel is de waarde met 90% van het oppervlak links ervan.

  • Zoek de z waarvoor Φ(z) gelijk is aan het oppervlak. Voor 90% is z = 1,2816. Voor 80% is z = 0,8416.
  • Reken terug naar x: x = μ + z · σ.

Voor een percentiel onder 50% is z negatief. Het 10e percentiel heeft z = −1,2816.

Zelftoets IQ-scores zijn normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. De z voor het 80e percentiel is 0,8416. Wat is het 80e percentiel?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Antwoord: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Met het minteken krijg je 87,4, het 20e percentiel; 100,8 vergeet met σ te vermenigvuldigen.

4De methode stap voor stap

  1. Schets de klokkromme, markeer μ en de waarde(n), en arceer het gevraagde oppervlak.
  2. Reken elke waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  3. Zoek Φ(z) op, de oppervlakte links.
  4. Onder: Φ(z). Boven: 1 − Φ(z). Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Ga voor een percentiel achterstevoren: oppervlak → z → x = μ + zσ.
  6. Vergelijk met je schets: een gearceerd oppervlak kleiner dan de helft moet een getal onder 0,5 geven.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Welk deel P ligt tussen 91 en 121?

1

Schets het oppervlak

91x₁100121x₂

Het gearceerde oppervlak bedekt het midden en meer van de rechterkant. Verwacht een getal iets boven 0,5.

2

Onderste z-score

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Bovenste z-score

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Zoek beide oppervlakken op

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Trek af

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

Dit is iets boven 0,5, zoals de schets voorspelde.

Antwoord

P ≈ 0,645: ongeveer 64,5% van de scores ligt tussen 91 en 121.

6Veelgemaakte fouten

  • De verkeerde staart lezen: Φ(z) gebruiken als de vraag om het oppervlak boven x vraagt.
  • Vergeten te delen door σ bij de z-score.
  • De twee linkeroppervlakken bij elkaar optellen voor een interval in plaats van ze af te trekken.
  • Het verkeerde teken van z gebruiken voor een percentiel onder 50%.
  • σ en de variantie σ² door elkaar halen. Deel door σ, de standaardafwijking.
Zelftoets Examenscores zijn normaal verdeeld met μ = 65 en σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Welk deel scoort boven 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Antwoord: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, en P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 is het oppervlak onder 50: de verkeerde staart. De meeste studenten scoren boven 50, dus het antwoord moet groot zijn.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: het oppervlak in één staart. Bepaal P(X < x) of P(X > x) met één z-score.
  • Gemiddeld: het oppervlak tussen twee waarden, Φ(z₂) − Φ(z₁), zoals in het voorbeeld.
  • Moeilijk: percentielen. Bepaal de waarde waaronder 80% of 90% van de gegevens ligt.

Schets altijd eerst. Een schets van tien seconden voorkomt de meeste fouten met staarten.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
μ = 3236,8P = ?

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt boven 36,8 min? Bereken P(X > x) als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Gevraagd: P(X > x)

Hints tonen
  1. Reken om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-score

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Kansrekening

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Antwoord

P = 0,2119

Dat is 21,19%.

Voorbeeld 2Gemiddeld
750 g769,7 gX + Y?

X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 769,7 g. Rond z af op twee decimalen.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Gevraagd: P

Hints tonen
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaardiseren

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Rechterstaart

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275
Voorbeeld 3Moeilijk
μ = 178x = ?20%

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 20%

Gevraagd: x (cm)

Hints tonen
  1. Werk terug: zoek in de tabel de z met Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. Dan x = μ + z·σ.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Terug naar x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Antwoord

x = 172,11 cm

Vragen en antwoorden

Normale verdeling: wat is het?

Veel grootheden, zoals lengtes, IQ-scores of het gewicht van pakjes uit een machine, volgen een normale verdeling. De meeste waarden liggen dicht bij het midden, en waarden ver weg zijn zeldzaam.

De grafiek is een symmetrische klok. Hij heeft twee getallen: het gemiddelde μ, waar de top ligt, en de standaardafwijking σ, die de breedte bepaalt.

Normale verdeling: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.
Normale verdeling: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • De tabel aflezen voor de verkeerde staart.
  • Vergeten door σ te delen.
  • Het teken van z omdraaien bij percentielen onder 50%.
Normale verdeling: wat oefen je?
  • Makkelijk: oppervlakte in één staart
  • Gemiddeld: oppervlakte tussen twee waarden
  • Moeilijk: percentielen

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Beschrijvende statistiek

Daarna verder met

Betrouwbaarheidsintervallen

Calculators

Calculator voor z-score en normale kansenNormale verdeling berekenen

Vakken met dit onderwerp

Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologieInleiding statistiekWiskunde voor ingenieursStatistiek 2: Inferentiële statistiekOefenen voor het FE Civil-examenOefenopgaven AP StatisticsOefenen voor CFA Level I: kwantitatieve methoden en vastrentende waarden

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenAfgeleidenOptimalisatieIntegralenRijen & reeksenMultivariabele analyseDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenVectoren: inwendig en uitwendig productPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenKansrekeningBeschrijvende statistiekBetrouwbaarheidsintervallenHypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenLineaire regressie en correlatieChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Normale verdeling met antwoorden
Oefen Normale verdeling gratisOefen nu Normale verdelingElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.