Wiskunde voor ingenieurs: oefenopgaven en tentamenvragen

De wiskunde waarop technische opleidingen voortbouwen: analyse, complexe getallen, matrices, kansrekening en statistiek.

Oefen dit vak gratisDit vak oefenenMaak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Samenvattingspakket (pdf)Formuleoverzichten, methodestappen en oefenopgaven met volledige oplossingen, klaar om af te drukken.

Onderwerpen in dit vak

  1. Limietendirect invullen en ontbinden in factoren · limieten naar oneindig · Regel van L'Hôpitalrekenopgaven
  2. Afgeleidenmachtsregel · ketting- en productregel · raaklijnen en extremenrekenopgaven
  3. Integralenveeltermen · exponenten, logaritmen en substitutie · oppervlakten tussen krommenrekenopgaven
  4. Complexe getallenrekenen in rechthoekige vorm · poolvorm en exponentiële vorm · De Moivre, wortels en vergelijkingenrekenopgaven
  5. Differentiaalvergelijkingenexponentiële groei en afname · Afkoelingswet van Newton · eerste orde lineairrekenopgaven
  6. Matrices & determinanten2×2-determinant · 3×3 en producten · eigenwaarden en stelselsrekenopgaven
  7. Vectoren: inwendig en uitwendig productgrootte en componenten · inwendig product · uitwendig product en momentenrekenopgaven
  8. Kansrekeningeven waarschijnlijke uitkomsten · tellen en complement · binomiale verdelingrekenopgaven
  9. Beschrijvende statistiekgemiddelde en mediaan · standaardafwijking · normale verdelingrekenopgaven
  10. Normale verdelingoppervlakte in één staart · oppervlakte tussen twee waarden · percentielenrekenopgaven

Tentamentips voor Wiskunde voor ingenieurs

  • Controleer de afmetingen van een matrixproduct voordat je vermenigvuldigt.
  • Een determinant van nul betekent dat de matrix geen inverse heeft.
  • Schets een functie voordat je differentieert of integreert; met de schets vang je tekenfouten op.

Uitgewerkte voorbeelden

LimietenMakkelijk
xyx = 1

Bereken de limiet L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Gevraagd: L

Hints tonen
  1. Invullen geeft 0/0. Ontbind de teller in factoren.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Probeer direct in te vullen

teller → 0 en noemer → 0, dus de vorm is 0/0.

Ontbinden en wegdelen

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Invullen

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Antwoord

L = 4

Dit is de afgeleide van xⁿ in x = a: n·aⁿ⁻¹.

AfgeleidenGemiddeld
xyx = 1

Gegeven f(x) = x3·e−x. Bereken f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Gevraagd: f′(1)

Hints tonen
  1. Productregel met u = x3 en v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Productregel

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Invullen

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Antwoord

f′(1) = 0,7358

Zo werkt het oefenen

  • “Dit vak oefenen” mengt opgaven uit al zijn onderwerpen, net als een echt tentamen.
  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Proeftentamens zijn getimed en hebben geen hints, en aan het eind krijg je je score en een volledige bespreking.

Calculators voor dit vak

Calculator voor z-score en normale kansenCalculator voor gemiddelde, mediaan en standaardafwijkingCalculator voor determinant en inverse van een matrixNormale verdeling berekenenBinomiale verdeling berekenenPoissonverdeling berekenenPermutaties en combinaties berekenen (nPr en nCr)Eigenwaarden en eigenvectoren berekenenVerwachtingswaarde en variantie berekenenCalculator voor halveringstijd en exponentieel vervalCalculator voor significante cijfers (tellen, afronden en rekenen)Calculator voor procentuele fout (en procentueel verschil)Kwadratische vergelijking oplossen (ax² + bx + c = 0)Stelsel lineaire vergelijkingen oplossen (2×2 en 3×3)Afgeleide berekenen met stappenIntegraalcalculator (bepaald en onbepaald)

Gerelateerde vakken

Technische wiskunde 2Oefenopgaven AP CalculusCalculus 1Inleiding statistiekDifferentiaalvergelijkingenOefenopgaven AP StatisticsOnderzoeksmethoden en statistiek voor psychologieOefenen voor CFA Level I: kwantitatieve methoden en vastrentende waarden
Oefen dit vak gratisDit vak oefenenMaak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.