Technische wiskunde 2: oefenopgaven en tentamenvragen

De tweede wiskundecursus voor ingenieurs: tweede-orde differentiaalvergelijkingen, matrices en vectoren, integratietechnieken met omwentelingslichamen, partiële afgeleiden en dubbele integralen, reeksen en Taylorpolynomen, de Laplacetransformatie en convolutie. Dit zijn de gereedschappen waarop cursussen over schakelingen, trillingen en regeltechniek voortbouwen.

Oefen dit vak gratisDit vak oefenenMaak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Samenvattingspakket (pdf)Formuleoverzichten, methodestappen en oefenopgaven met volledige oplossingen, klaar om af te drukken.

Onderwerpen in dit vak

  1. Differentiaalvergelijkingenexponentiële groei en afname · Afkoelingswet van Newton · eerste orde lineairrekenopgaven
  2. Matrices & determinanten2×2-determinant · 3×3 en producten · eigenwaarden en stelselsrekenopgaven
  3. Vectoren: inwendig en uitwendig productgrootte en componenten · inwendig product · uitwendig product en momentenrekenopgaven
  4. Integralenveeltermen · exponenten, logaritmen en substitutie · oppervlakten tussen krommenrekenopgaven
  5. Multivariabele analysepartiële afgeleiden en dubbele integralen · gradiënt, raakvlak en kettingregel · kritieke punten en integralen over gebiedenrekenopgaven
  6. Rijen & reeksenrekenkundige en meetkundige reeksen · convergentie en machtreeksen · Taylor- en Maclaurinpolynomenrekenopgaven
  7. Laplacetransformatiestabelparen en waardestellingen · inverse transformatie met partieelbreuken · Differentiaalvergelijkingen en overdrachtsfunctiesrekenopgaven
  8. Convolutie en LTI-systemendiscrete convolutie · continue convolutie · impulsresponsie en fourierreeksrekenopgaven

Tentamentips voor Technische wiskunde 2

  • Schrijf bij een lineaire DV eerst de karakteristieke vergelijking op: de wortels bepalen de vorm van de oplossing.
  • Kies bij partiële integratie voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert.
  • Gebruik een Laplacetabel en breuksplitsing in plaats van de transformatie met de hand te integreren.

Uitgewerkte voorbeelden

DifferentiaalvergelijkingenMakkelijk
rr² + br + c?

Bepaal voor de vergelijking y″ + 4y′ + 3y = 0 de wortel r van de karakteristieke vergelijking die het dichtst bij nul ligt. Die bepaalt hoe langzaam de oplossing uitdooft.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Gevraagd: r

Hints tonen
  1. Substitueer y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Ontbind haar in factoren of gebruik de abc-formule.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.

Karakteristieke vergelijking

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Wortels

r = −1, r = −3
dichtst bij nul: r = −1

Antwoord

r = −1

De algemene oplossing is y = A·e−1t + B·e−3t.

Matrices & determinantenGemiddeld
A =−153−5−1−3−513

Bereken de determinant det A van de getoonde 3×3-matrix A.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Gevraagd: det A

Hints tonen
  1. Ontwikkel naar de eerste rij met tekens + − +.
  2. Elke term is een element maal de 2×2-determinant die overblijft als je zijn rij en kolom wegstreept.
  3. minoren: 0, −30, −10.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.

2×2-minoren van de eerste rij

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Cofactorontwikkeling

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Antwoord

det A = 120

Zo werkt het oefenen

  • “Dit vak oefenen” mengt opgaven uit al zijn onderwerpen, net als een echt tentamen.
  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Proeftentamens zijn getimed en hebben geen hints, en aan het eind krijg je je score en een volledige bespreking.

Calculators voor dit vak

Inverse Laplacetransformatie berekenen (breuksplitsen)Laplacetransformatie berekenenCalculator voor determinant en inverse van een matrixEigenwaarden en eigenvectoren berekenenCalculator voor halveringstijd en exponentieel vervalStelsel lineaire vergelijkingen oplossen (2×2 en 3×3)Integraalcalculator (bepaald en onbepaald)

Gerelateerde vakken

Wiskunde voor ingenieursAnalyse 2Numerieke methodenOefenopgaven AP CalculusDifferentiaalvergelijkingenSignalen en systemenCalculus 1Statica
Oefen dit vak gratisDit vak oefenenMaak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.