Laplacetransformatie berekenen
Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.
Resultaat
Bepaal de Laplacetransformatie van een functie opgebouwd uit gangbare termen: machten van t, exponentiële functies, sinussen en cosinussen (met een fase), sinh en cosh, verschoven stapfuncties u(t − c) en impulsen δ(t − c). De calculator transformeert elke term met de standaardtabel en de verschuivingsstellingen, toont welke regels hij gebruikte, en geeft F(s) met zijn convergentiegebied.
Stapsgewijze oplossing
Transformeer elke term
Gebruikte tabelregels
Tel de transformaties op (lineariteit)
Hoe vind je een Laplacetransformatie met de tabel
- Splits f(t) in een som van termen; de Laplacetransformatie is lineair.
- Gebruik de basisparen: L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹, L{sin ωt} = ω/(s² + ω²) en L{cos ωt} = s/(s² + ω²).
- Vermenigvuldigen met e^(at) verschuift s: L{e^(at) f(t)} = F(s − a).
- Een vertraagde term g(t)·u(t − c) transformeert naar e^(−cs)·L{g(t + c)}.
- Tel de transformaties van de termen op; F(s) bestaat voor Re(s) groter dan de grootste exponent a.
Vragen en antwoorden
Hoe typ ik f(t)?
Bijvoorbeeld 3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1). Gebruik ^ voor machten, e^(at) of exp(at) voor exponentiële functies, u(t-c) voor een stap en δ(t-c) of delta(t-c) voor een impuls. Een fase is toegestaan, zoals in sin(2t + 1).
Wat is het verschil tussen t·u(t − 1) en (t − 1)·u(t − 1)?
De tweede is een vertraagde helling en transformeert naar e^(−s)/s². De eerste is t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1), wat transformeert naar e^(−s)(1/s² + 1/s). De calculator behandelt beide door g(t + c) te schrijven.
Hoe worden t·sin(ωt) en t·cos(ωt) getransformeerd?
Via L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹: het imaginaire deel geeft de sinus en het reële deel de cosinus, bijvoorbeeld L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)².
Wat is het convergentiegebied?
De waarden van s waarvoor de transformatie-integraal convergeert: Re(s) groter dan de grootste groeisnelheid in f(t). Voor e^(3t) is dat Re(s) > 3.
Kan ik een product van twee sinussen invoeren?
Niet direct. Schrijf het eerst om met een product-naar-somformule, bijvoorbeeld sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)].
Oefen het zelf
Oefen Laplacetransformaties
Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.