Laplacetransformaties: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

1Wat de Laplacetransformatie doet

Schakelingen, motoren en tanks worden beschreven door differentiaalvergelijkingen: de uitgang hangt af van zijn eigen veranderingssnelheid. Die rechtstreeks oplossen kost veel tijd.

De Laplacetransformatie verandert zo’n probleem in algebra. Je ruilt elke functie van de tijd f(t) voor een functie F(s) van een nieuwe variabele s.

Je lost het probleem op met gewone algebra in s, en vertaalt het resultaat dan terug naar de tijd. Die laatste stap is de inverse transformatie.

Je gebruikt deze integraal zelden zelf. In de praktijk zoek je transformatieparen op in een tabel, zoals woorden in een woordenboek tussen twee talen.

De figuur toont drie veelvoorkomende signalen: een constante 1 (een stap), een afnemende exponentiële en een sinus. Onder elk staat zijn transformatie.

2De tabel met transformatieparen

Leer deze vijf paren. Samen met twee regels dekken ze bijna elk examenprobleem.

• Lineariteit: constanten blijven vooraan staan, en een som wordt term voor term getransformeerd. Dus 3/(s + 2) ↔ 3·e^−2t.
• Verschuiving: s vervangen door s + a vermenigvuldigt de tijdfunctie met e^−at. Dus (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e^−2t·cos 3t.

Let op het sinuspaar: de teller moet ω zelf zijn. Voor 12/(s² + 9) heb je ω = 3, dus schrijf 12 = 4·3. Het resultaat is 4·sin 3t.

In sin ωt en cos ωt staat de hoek ωt in radialen. Zet je rekenmachine op radialen voordat je uitrekent.

3Begin- en eindwaarden zonder terugtransformeren

Soms heb je alleen nodig waar f(t) begint of waar het eindigt. Twee stellingen geven die rechtstreeks uit F(s).

• Beginwaarde (s → ∞): voor heel grote s telt alleen de hoogste macht van s in de teller en in de noemer.
• Eindwaarde (s → 0): haal de factor s weg en vul dan s = 0 in bij elke overgebleven factor, nulpunten inbegrepen.
• De eindwaardestelling werkt alleen als f(t) echt tot rust komt: alle polen van s·F(s) moeten een negatief reëel deel hebben.

Eindwaarde: voor F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) krijg je s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). Bij s = 0 is dit 12/6 = 2, dus f(∞) = 2.

Beginwaarde: voor F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) krijg je s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Voor grote s gedraagt dit zich als 3s²/s², dus f(0⁺) = 3.

Voor de beginhelling f′(0⁺) gebruik je de transformatie van de afgeleide, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Pas daarop de beginwaardestelling toe:

Voor dezelfde F(s): s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Vermenigvuldig met s en laat s → ∞. De hoogste machten geven −5s²/s², dus f′(0⁺) = −5.

4Breuksplitsing, stap voor stap

De meeste F(s) staan zoals ze zijn niet in de tabel. Je splitst ze in eenvoudige breuken die er wel in staan. Dit heet breuksplitsing.

Elke wortel van de noemer is een pool. Een enkelvoudige pool bij s = −a geeft één term A/(s + a), die in de tijd A·e^−at wordt.

De afdekregel vindt elke coëfficiënt. Om A te vinden, dek je de factor (s + a) in F(s) af en vul je s = −a in alles wat overblijft.

Voorbeeld: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Dan is A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 en B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Dus f(t) = 2e^−t − e^−4t.

De positie van een pool vertelt je de vorm. Een reële pool bij −3 geeft een zuiver verval e^−3t. Een complex paar −1 ± j2 geeft een afnemende oscillatie, e^−t maal sin 2t of cos 2t.

• Herhaalde pool (s + a)²: schrijf A/(s + a) + B/(s + a)². De tweede term geeft B·t·e^−at. Dus (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e^−t + 3t·e^−t.
• Complexe polen: kwadraat afsplitsen, s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2². Dan is 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e^−2t·sin 2t.

1. Ontbind de noemer en maak een lijst van de polen. Zoek bij een kwadratische vorm de wortels of splits het kwadraat af.
2. Schrijf één breuk per pool: A/s, B/(s + a) enzovoort. Een herhaalde pool krijgt ook een gekwadrateerde term.
3. Bepaal elke coëfficiënt met de afdekregel. Houd de tekens van de overgebleven factoren aan.
4. Vertaal elke term terug naar de tijd met de tabel.
5. Vul de tijd t in (radialen voor sinus en cosinus). Controleer f(0⁺) en f(∞) met de waardestellingen.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Dit is een typische gemiddelde vraag. Probeer elke stap zelf voordat je hem opent.

6Veelgemaakte fouten

• De stellingen door elkaar halen: s → ∞ geeft de beginwaarde f(0⁺), en s → 0 geeft de eindwaarde f(∞).
• De factor s in s·F(s) vergeten, of een nulpuntfactor zoals (s + 2) laten vallen als je s = 0 invult.
• Tekenfouten in de afdekregel: bij s = −3 is de factor (s + 2) gelijk aan −1, niet 5.
• Het sinuspaar gebruiken zonder door ω te delen: ω/(s² + ω²) heeft ω in de teller nodig.
• sin ωt of cos ωt uitrekenen met de rekenmachine in graden. De hoek ωt is in radialen.
• De eindwaardestelling gebruiken als f(t) nooit tot rust komt, bijvoorbeeld F(s) = 1/(s² + 4), een zuivere sinus.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

• Makkelijk: tabelparen en waardestellingen. Je transformeert een constante, een exponentiële, t·e^−at, een sinus of een cosinus terug en rekent hem uit, of je bepaalt f(0⁺), f(∞) of de beginhelling f′(0⁺).
• Gemiddeld: inverse transformaties met breuksplitsing. Je vindt één coëfficiënt A, transformeert drie enkelvoudige polen s(s + a)(s + b) terug, een herhaalde pool, of complexe polen door het kwadraat af te splitsen.
• Moeilijk: differentiaalvergelijkingen en overdrachtsfuncties, bijvoorbeeld y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) met gegeven beginwaarden. Je bepaalt y op een gegeven moment.

Transformeer voor het moeilijke niveau elke afgeleide samen met zijn beginvoorwaarden:

Los dan de algebraïsche vergelijking op voor Y(s) en transformeer terug met breuksplitsing, zoals in het uitgewerkte voorbeeld.