Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

1Enen, nullen en poorten

Digitale schakelingen werken met twee waarden: 0 (lage spanning, onwaar) en 1 (hoge spanning, waar). Een logische poort heeft één of meer ingangen en geeft één uitgang.

• AND geeft alleen 1 als alle ingangen 1 zijn. Geschreven als A·B of AB.
• OR geeft 1 als minstens één ingang 1 is. Geschreven als A + B.
• NOT inverteert: 0 wordt 1 en 1 wordt 0. Geschreven als A′ (of met een streep boven A).
• NAND en NOR zijn AND en OR gevolgd door NOT; het kleine cirkeltje op een symbool betekent “geïnverteerd”.
• XOR (A ⊕ B) geeft 1 als de ingangen verschillen.

Een waarheidstabel toont de uitgang voor elke combinatie van de ingangen: 2ⁿ rijen voor n ingangen. Rij ABC = 101 is rijnummer 5, een minterm genoemd m₅.

2Booleaanse algebra

Logische uitdrukkingen volgen regels zoals gewone algebra, plus een paar eigen regels. De nuttigste:

De samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X is de kern van vereenvoudigen: twee termen die in één variabele verschillen smelten samen, en die variabele verdwijnt.

Een som van producten (SOP) is een OR van AND-termen, zoals F = AB′ + C. Een product van sommen (POS) is een AND van OR-termen, zoals F = (A + B)(B′ + C). Elke productterm bestaat uit literals: variabelen, met of zonder accent.

3Karnaugh-kaarten

Een Karnaugh-kaart is een waarheidstabel getekend als raster waarin naburige cellen in precies één variabele verschillen. Daarom lopen de rijen en kolommen 00, 01, 11, 10 (Gray-code) en niet in binaire volgorde.

1. Schrijf een 1 in de cel van elke minterm; het kleine getal in elke cel is het mintermnummer.
2. Teken rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen om de enen. Groepen mogen om de randen heen lopen: de linker- en rechterkolom zijn buren, en de bovenste en onderste rij ook.
3. Maak elke groep zo groot mogelijk en gebruik zo weinig mogelijk groepen totdat elke 1 gedekt is.
4. Lees elke groep af als productterm: houd alleen de variabelen die binnen de groep niet veranderen. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen.

In de kaart hierboven vormen de vier enen één groep. Daarbinnen verandert A en verandert C, alleen B = 1 blijft, dus F = B.

Cellen met X zijn don’t-cares: ingangscombinaties die nooit voorkomen. Gebruik een X als 1 wanneer dat een groep groter maakt, en negeer hem anders. Groepeer je de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

4Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

5Flip-flops en tellers

Poorten reageren direct op hun ingangen. Een flip-flop slaat één bit op en verandert alleen op de actieve flank van de klok (meestal de stijgende flank).

• D-flip-flop: Q wordt D bij elke klokflank (Q⁺ = D).
• T-flip-flop: wisselt van toestand als T = 1, houdt vast als T = 0.
• JK-flip-flop: JK = 00 houdt vast, 01 reset naar 0, 10 zet naar 1, 11 wisselt.

Een wisselende flip-flop verandert bij elke stijgende flank, dus zijn uitgang heeft de halve klokfrequentie. Als je er n koppelt, krijg je een n-bits binaire teller met 2ⁿ toestanden. Een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0; hij heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N nodig, en zijn laatste uitgang loopt op f_klok/N.

In een ripple-teller wordt elke trap geklokt door de vorige, dus de vertragingen tellen op: de klokperiode moet minstens n·t_pd zijn. Schuifregistertellers gebruiken minder toestanden: een ringteller van n flip-flops heeft n toestanden, een Johnson-teller 2n.

6Veelgemaakte fouten

• De kolommen van de K-kaart schrijven als 00, 01, 10, 11. De volgorde is Gray-code: 00, 01, 11, 10.
• Vergeten dat groepen om de randen van de kaart heen lopen.
• Groepen van 3 of 6 cellen maken. Groepen hebben 1, 2, 4, 8 of 16 cellen.
• Een don’t-care dekken die niet helpt: een X hoeft nooit gedekt te worden.
• Een groep aflezen door de variabelen te houden die veranderen. Houd alleen de variabelen die constant blijven.
• Vergeten dat een teller terugloopt: een n-bits teller telt modulo 2ⁿ.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

• Makkelijk: een poortschakeling evalueren voor gegeven ingangen, de enen van zijn waarheidstabel tellen, een minterm in een Karnaugh-kaart plaatsen, het aantal NAND-poorten voor een functie of de slechtste voortplantingsvertraging.
• Gemiddeld: een uitdrukking vereenvoudigen, de minimale SOP- of POS-vorm vinden met een Karnaugh-kaart, een functie gebouwd met een multiplexer, of de geïsoleerde 1 van een kaart.
• Moeilijk: kaarten met don’t-cares, essentiële priemimplicanten, tijdsdiagrammen van flip-flops, tellers na veel pulsen, het aantal flip-flops of de uitgangsfrequentie, en schuifregisters.

Controleer een vereenvoudigde uitdrukking door één of twee rijen van de waarheidstabel te testen: de oorspronkelijke en de vereenvoudigde vorm moeten dezelfde uitgang geven.