Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Gratis oefenopgaven over Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: Routh-tabel en poolaantallen, bereik van K voor stabiliteit, wortelbaan.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Het karakteristieke polynoom van een teruggekoppeld systeem is Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Maak de Routh-tabel en bepaal hoeveel wortels N van Q(s) in het rechterhalfvlak liggen.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Exact antwoord: een geheel getal, zonder afronden.

Volgende opgave →
Oefen Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan gratisOefen nu Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaanElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. MakkelijkRouth-tabel en poolaantallen
  2. Gemiddeldbereik van K voor stabiliteit
  3. Moeilijkwortelbaan

Zo los je opgaven over Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan op

  1. Schrijf het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op: de noemer van 1 + K·G(s) = 0, uitgewerkt.
  2. Zet de coëfficiënten afwisselend in de eerste twee rijen van de Routh-tabel en bouw de overige rijen op.
  3. Tel de tekenwisselingen in de eerste kolom: elke wisseling is een pool in het rechterhalfvlak. Eis met K in de tabel dat elk element van de eerste kolom positief blijft.
  4. Markeer voor een wortelbaan de polen en zeros, de segmenten op de reële as, de asymptoten vanuit het zwaartepunt en de splitsingspunten waar dK/ds = 0. Gebruik K = 1/|G(s)| voor de versterking in een punt.

Veelgemaakte fouten

  • Concluderen dat een systeem stabiel is omdat alle coëfficiënten positief zijn; bij een derdegraads of hoger is dat niet genoeg.
  • De constante term van het proces vergeten als K wordt toegevoegd: met drie polen buiten de oorsprong is het s⁰-element abc + K.
  • Het midden van twee polen nemen als vertrekpunt terwijl een derde pool of een zero in de buurt is.
  • Poolposities zonder hun tekens gebruiken in de formule voor het zwaartepunt.

Belangrijke formules

Stabiliteit
alle wortels van het karakteristieke polynoom in het linkerhalfvlak
Routh-tabel, s¹-element van een derdegraadspolynoom
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Wortels in het rechterhalfvlak
aantal tekenwisselingen in de eerste kolom
Derdegraadspolynoom s³ + a₂s² + a₁s + a₀
stabiel als alle a > 0 en a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Karakteristieke vergelijking
1 + K·G(s) = 0
Asymptoten
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Vertrek- en aankomstpunten
dK/ds = 0
Modulusvoorwaarde
K = 1/|G(s)|
Vertrekhoek
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Leer Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan vanaf nul

Hiervoor: Laplacetransformaties, Blokschema’s

1Wat stabiliteit betekent

Een systeem is stabiel als elke begrensde ingang een begrensde uitgang geeft. Na een verstoring komt een stabiel systeem tot rust; een instabiel systeem loopt weg of oscilleert met groeiende amplitude.

Het gedrag wordt bepaald door de polen van de gesloten lus: de wortels van zijn karakteristieke polynoom. Een pool bij s = p voegt een term ept toe aan de respons.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Een pool met een negatief reëel deel (linkerhalfvlak) geeft een term die uitsterft.
  • Een pool met een positief reëel deel (rechterhalfvlak) geeft een term die onbegrensd groeit.
  • Het systeem is dus alleen stabiel als alle polen in het linkerhalfvlak liggen.
Zelftoets Een gesloten lus heeft polen bij −3, −1 + j2, −1 − j2 en +0,5. Is hij stabiel?
  1. Ja, want de complexe polen hebben negatieve reële delen
  2. Ja, want drie van de vier polen liggen in het linkerhalfvlak
  3. Nee, de pool bij +0,5 maakt hem instabiel
  4. Nee, want complexe polen maken een systeem altijd instabiel

Antwoord: Nee, de pool bij +0,5 maakt hem instabiel. Eén pool in het rechterhalfvlak is genoeg: zijn term e0,5t groeit. Complexe polen in het linkerhalfvlak zijn prima; ze geven een uitdovende oscillatie.

2De Routh-tabel

Bij een derdegraads of hogere graad is het lastig de wortels met de hand te vinden. Het Routh–Hurwitz-criterium vertelt je hoeveel wortels in het rechterhalfvlak liggen zonder ze op te lossen.

Schrijf de coëfficiënten afwisselend in de eerste twee rijen. Voor s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Elke nieuwe rij wordt opgebouwd uit de twee rijen erboven. Voor de derdegraads is het s¹-element:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

Het aantal tekenwisselingen in de eerste kolom is gelijk aan het aantal wortels in het rechterhalfvlak.

Voorbeeld: s³ + 2s² + 3s + 10. De eerste kolom is 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. De tekens gaan +, +, −, +: twee wisselingen, dus twee polen liggen in het rechterhalfvlak.

Zelftoets Wat is voor s³ + 4s² + 5s + 2 het eerste element van de s¹-rij?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Antwoord: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Vergeten door 4 te delen geeft 18; de producten verwisselen geeft −4,5.

3De methode stap voor stap

  1. Schrijf de karakteristieke vergelijking van de gesloten lus 1 + K·G(s) = 0 op en werk hem uit tot een polynoom.
  2. Vul de eerste twee rijen van de Routh-tabel in met de coëfficiënten.
  3. Bouw de overige rijen op; houd K als symbool aan als die voorkomt.
  4. Tel de tekenwisselingen in de eerste kolom, of eis dat elk element van de eerste kolom positief is om het toegestane bereik van K te vinden.
  5. Bij de grensversterking is de s¹-rij nul. De s²-rij geeft dan de hulpvergelijking a·s² + b = 0, waarvan de wortels ±jω de oscillatiefrequentie aangeven.

Snelle test voor een derdegraads s³ + a₂s² + a₁s + a₀: hij is precies stabiel als alle coëfficiënten positief zijn en a₂·a₁ > a₀.

4Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

De onderstaande lus heeft L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Voor welke versterkingen K is de gesloten lus stabiel, en met welke frequentie oscilleert hij op de grens?

1

Bekijk de lus

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

De karakteristieke vergelijking is 1 + L(s) = 0, dus s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Werk uit

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Bouw de Routh-tabel

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

Het s¹-element is (6·8 − 1·K)/6.

4

Houd de eerste kolom positief

Uit de s⁰-rij: K > 0. Uit de s¹-rij: 48 − K > 0, dus K < 48.

5

Frequentie op de grens

Bij K = 48 is de s¹-rij nul. De s²-rij geeft 6s² + 48 = 0, dus s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Controleer het antwoord

Bij K = 48 is het polynoom s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). De wortels zijn −6 en ±j2,83, zoals verwacht.

Antwoord

De lus is stabiel voor 0 < K < 48; bij K = 48 oscilleert hij met ω = 2,83 rad/s.

5De wortelbaan

De wortelbaan laat zien hoe de gesloten-luspolen bewegen als K van 0 naar ∞ gaat. Hij begint bij de open-luspolen (×) en eindigt bij de open-luszeros (○) of in oneindig.

  • Een punt op de reële as ligt op de wortelbaan als het aantal reële polen en zeros rechts ervan oneven is.
  • De n − m takken die naar oneindig gaan, volgen asymptoten onder de hoeken (2q + 1)·180°/(n − m).
  • De asymptoten beginnen in het zwaartepunt σa = (Σ polen − Σ zeros)/(n − m).
  • Takken verlaten of bereiken de reële as waar dK/ds = 0, met K = −1/G(s) op de as.
  • De versterking in elk punt s van de wortelbaan is K = 1/|G(s)|, het product van de afstanden tot de polen gedeeld door dat tot de zeros.

Voor L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) is het zwaartepunt (0 − 2 − 4)/3 = −2, en de asymptoten vertrekken onder 60°, 180° en 300°.

ReIm0−2−460°

Het vertrekpunt tussen 0 en −2 volgt uit dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, dus s = −0,845.

Zelftoets Waar verlaten de twee takken van L(s) = K/((s + 1)(s + 5)) de reële as?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Antwoord: s = −3. Met twee reële polen en geen zeros is K = −(s + 1)(s + 5) het grootst precies tussen beide in: dK/ds = −(2s + 6) = 0 geeft s = −3.

6Veelgemaakte fouten

  • Een systeem stabiel noemen omdat al zijn coëfficiënten positief zijn. Bij een derdegraads of hogere graad heb je ook de Routh-test nodig.
  • De constante term van het proces vergeten: voor K/((s + a)(s + b)(s + c)) is de s⁰-coëfficiënt abc + K, niet K.
  • Het midden van twee polen nemen als vertrekpunt terwijl een derde pool of een zero de wortelbaan aantrekt.
  • De tekens weglaten in het zwaartepunt: een factor (s + 4) is een pool bij s = −4.
Zelftoets Is s³ + s² + 2s + 8 = 0 een stabiele karakteristieke vergelijking?
  1. Ja: alle coëfficiënten zijn positief
  2. Ja: de coëfficiënten wisselen niet van teken
  3. Nee: a₂·a₁ = 2 is kleiner dan a₀ = 8
  4. Nee: een derdegraads is nooit stabiel

Antwoord: Nee: a₂·a₁ = 2 is kleiner dan a₀ = 8. Het s¹-element is (1·2 − 8)/1 = −6, dus de eerste kolom 1, 1, −6, 8 wisselt twee keer van teken: twee polen liggen in het rechterhalfvlak. Positieve coëfficiënten zijn niet genoeg.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: de Routh-tabel en poolaantallen. Je telt de polen in het rechterhalfvlak van een derde- of vierdegraads polynoom, bepaalt één element van de tabel, bepaalt een gesloten-luspool voor een eerste-ordeproces, of de versterking die hem op een gegeven punt plaatst.
  • Gemiddeld: het bereik van K. Je bepaalt de grootste stabiele versterking, de oscillatiefrequentie bij die versterking, de kleinste versterking die een instabiel proces stabiliseert, of hoeveel de versterking kan stijgen.
  • Moeilijk: de wortelbaan. Je bepaalt het zwaartepunt van de asymptoten, de snijding met de imaginaire as, vertrek- en aankomstpunten, de vertrekhoek vanuit een complexe pool, of de versterking in een gegeven punt of bij een gegeven dempingsverhouding.

Schrijf voor een versterking bij een dempingsverhouding het karakteristieke polynoom op en vergelijk het met s² + 2ζωns + ωn².

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
R(s)+K1s + 10C(s)−

Een proportionele versterking K regelt het proces G(s) = 1/(s + 10) in een lus met eenheidsterugkoppeling. Bepaal de versterking K die de gesloten-luspool op s = −10,5 plaatst.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Gevraagd: K

Hints tonen
  1. De gesloten-luspool is de wortel van s + 10 + 1K = 0.
  2. Vul s = −10,5 in die vergelijking in.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Routh–Hurwitz-criterium: een lineair systeem is stabiel als elke wortel van zijn karakteristieke polynoom in het linkerhalfvlak van het s-vlak ligt. Schrijf de coëfficiënten afwisselend in de eerste twee rijen van de Routh-tabel. Elk element van een nieuwe rij volgt uit de twee rijen erboven; voor een derdegraads a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ is het s¹-element b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Het aantal tekenwisselingen in de eerste kolom is gelijk aan het aantal wortels in het rechterhalfvlak. Met een versterking K in de coëfficiënten moet elk element van de eerste kolom positief blijven: de versterking waarbij het s¹-element nul wordt, is de stabiliteitsgrens, en de s²-rij geeft dan de frequentie van de aanhoudende oscillatie.

Karakteristieke vergelijking

s + 10 + 1K = 0

Vereiste versterking

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Antwoord

K = 0,5
Voorbeeld 2Gemiddeld
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

Het proces G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) heeft een instabiele pool bij s = 4. Een proportionele versterking K sluit een lus met eenheidsterugkoppeling om het proces. Bepaal de kleinste versterking Kmin die de gesloten lus stabiel maakt.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Gevraagd: Kmin

Hints tonen
  1. Het karakteristieke polynoom is (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Een tweedegraads polynoom is stabiel als beide coëfficiënten positief zijn.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Routh–Hurwitz-criterium: een lineair systeem is stabiel als elke wortel van zijn karakteristieke polynoom in het linkerhalfvlak van het s-vlak ligt. Schrijf de coëfficiënten afwisselend in de eerste twee rijen van de Routh-tabel. Elk element van een nieuwe rij volgt uit de twee rijen erboven; voor een derdegraads a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ is het s¹-element b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Het aantal tekenwisselingen in de eerste kolom is gelijk aan het aantal wortels in het rechterhalfvlak. Met een versterking K in de coëfficiënten moet elk element van de eerste kolom positief blijven: de versterking waarbij het s¹-element nul wordt, is de stabiliteitsgrens, en de s²-rij geeft dan de frequentie van de aanhoudende oscillatie.

Karakteristiek polynoom

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Voorwaarden

Voor s² + c₁s + c₀ liggen alle wortels in het linkerhalfvlak precies dan als c₁ > 0 en c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Antwoord

Kmin = 3
Voorbeeld 3Moeilijk
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

De wortelbaan van L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) verlaat de reële as tussen s = 0 en s = −4. Bepaal het vertrekpunt sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Gevraagd: sb

Hints tonen
  1. Op de reële as is K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Stel dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Neem de wortel die tussen 0 en −4 ligt.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Wortelbaan: als de versterking K van 0 naar ∞ gaat, bewegen de gesloten-luspolen, de wortels van 1 + K·G(s) = 0, van de open-luspolen naar de open-luszeros of naar oneindig. Een punt op de reële as hoort bij de wortelbaan als het aantal reële polen en zeros rechts ervan oneven is. De n − m takken die naar oneindig gaan, volgen asymptoten onder de hoeken (2q + 1)·180°/(n − m), die beginnen in het zwaartepunt σₐ = (Σ polen − Σ zeros)/(n − m). Takken verlaten of bereiken de reële as waar dK/ds = 0. De hoekvoorwaarde ∠G(s) = 180° bepaalt de vorm, en de modulusvoorwaarde K = 1/|G(s)| geeft de versterking in elk punt van de wortelbaan.

Versterking langs de reële as

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Stationaire punten

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Kies het punt op de wortelbaan

De wortelbaan ligt op de reële as tussen 0 en −4; de andere wortel ligt niet op de wortelbaan.

sb = −1,761

Antwoord

sb = −1,761

Vragen en antwoorden

Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan: wat is het?

Een systeem is stabiel als elke begrensde ingang een begrensde uitgang geeft. Na een verstoring komt een stabiel systeem tot rust; een instabiel systeem loopt weg of oscilleert met groeiende amplitude.

Het gedrag wordt bepaald door de polen van de gesloten lus: de wortels van zijn karakteristieke polynoom. Een pool bij s = p voegt een term ept toe aan de respons.

Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Schrijf het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op: de noemer van 1 + K·G(s) = 0, uitgewerkt.
  2. Zet de coëfficiënten afwisselend in de eerste twee rijen van de Routh-tabel en bouw de overige rijen op.
  3. Tel de tekenwisselingen in de eerste kolom: elke wisseling is een pool in het rechterhalfvlak. Eis met K in de tabel dat elk element van de eerste kolom positief blijft.
  4. Markeer voor een wortelbaan de polen en zeros, de segmenten op de reële as, de asymptoten vanuit het zwaartepunt en de splitsingspunten waar dK/ds = 0. Gebruik K = 1/|G(s)| voor de versterking in een punt.
Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Concluderen dat een systeem stabiel is omdat alle coëfficiënten positief zijn; bij een derdegraads of hoger is dat niet genoeg.
  • De constante term van het proces vergeten als K wordt toegevoegd: met drie polen buiten de oorsprong is het s⁰-element abc + K.
  • Het midden van twee polen nemen als vertrekpunt terwijl een derde pool of een zero in de buurt is.
  • Poolposities zonder hun tekens gebruiken in de formule voor het zwaartepunt.
Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan: wat oefen je?
  • Makkelijk: Routh-tabel en poolaantallen
  • Gemiddeld: bereik van K voor stabiliteit
  • Moeilijk: wortelbaan

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

LaplacetransformatiesBlokschema’s

Calculators

Stabiliteitscriterium van Routh–Hurwitz berekenen

Vakken met dit onderwerp

Regeltechniek 1Regeltechniek 2: ontwerp van terugkoppelingOefenen voor het FE Electrical and Computer-examen

Meer onderwerpen in Elektrotechniek

Serie- en parallelweerstandenSuperpositieThévenin en NortonKnooppuntmethodeMaasmethodeRC- en RL-schakelverschijnselenWisselstroomimpedantie en fasorenWisselstroomvermogen en arbeidsfactorLC-resonantie, Q-factor en bandbreedteDraaistroomvermogenTransformatorenGelijkstroommotorenOpampschakelingenDiodes en transistorenDC-DC-omzettersDigitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsBrug van Wheatstone en rekstrookjesData-acquisitie en bemonsteringLaplacetransformatiesBlokschema’sStapresponsieBodediagrammen en margesStationaire fout en PID-regelingConvolutie en LTI-systemen

Printbaar werkblad

Werkblad Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan met antwoorden
Oefen Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan gratisOefen nu Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaanElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.