Maasmethode: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: maasstroommethode · mazenmethode · maasstromen
Gratis oefenopgaven over Maasmethode met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: 2 mazen, 1 bron, 2 mazen, 2 bronnen, 3 mazen.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Gebruik de maasmethode om de stroom IR1 door R1 in de richting van de pijl te vinden.
Maaskringanalyse is een standaardmethode om de stromen in een schakeling te vinden. Het is het tegenstuk van knooppuntanalyse: knooppuntanalyse gebruikt spanningen als onbekenden, maaskringanalyse gebruikt stromen.
Kijk naar een vlakke schakeltekening. De lege “vensters” omsloten door draden en componenten heten mazen (meshes).
Je stelt je bij elk venster één stroom voor die rondgaat. Dit zijn de maasstromen. Elke echte takstroom is hieruit opgebouwd.
Denk aan een rij tandwielen naast elkaar. Elk wiel draait op zichzelf, en waar twee wielen elkaar raken, zie je het verschil tussen hun bewegingen.
Zelftoets Een vlakke schakeltekening heeft drie vensters. Hoeveel maasstromen heb je nodig?
1
2
3
6
Antwoord: 3. Eén maasstroom per venster, dus drie. Je schrijft dan één vergelijking per maas, in totaal drie vergelijkingen.
2Spanningswet van Kirchhoff
Loop één keer rond een willekeurige gesloten lus en kom terug waar je begon. Je eindigt op dezelfde spanning als waarmee je begon.
De spanning die je in bronnen wint, is dus gelijk aan de spanning die je in weerstanden verliest. Dit is de spanningswet van Kirchhoff (KVL).
Σ spanningsstijgingen = Σ spanningsvallen
Een bron is een stijging als je er van − naar + doorheen gaat. Een weerstand is een daling van I·R als je er in de richting van zijn stroom doorheen loopt.
In deze lus levert de bron 12 V. Eén weerstand neemt 8 V, dus de andere moet de resterende 4 V nemen.
Zelftoets Een bron van 10 V stuurt één lus met twee weerstanden aan. Over de eerste staat 7 V. Wat is de spanning over de tweede?
10 V
17 V
3 V
7 V
Antwoord: 3 V. De dalingen moeten optellen tot de stijging van 10 V: 10 − 7 = 3 V. De spanningen optellen (17 V) schendt KVL.
3Maasstromen in een gedeelde weerstand
Teken elke maasstroom met de klok mee, met hetzelfde naampatroon: I1, I2, …
Een weerstand aan de buitenkant van de schakeling hoort bij één maas. Hij voert die maasstroom.
Een weerstand tussen twee vensters is gedeeld. Beide maasstromen gaan erdoorheen, in tegengestelde richting. Zijn echte stroom is het verschil.
IR3 (omlaag) = I1 − I2
In maas 1 stroomt I1 naar beneden door R3, dus schrijf je I1 − I2. In maas 2 stroomt I2 naar boven door R3, dus schrijf je I2 − I1.
Zelftoets In de schakeling hierboven is I1 = 3 A en I2 = 1 A. Welke stroom loopt er naar beneden door R3?
1 A
2 A
3 A
4 A
Antwoord: 2 A. De gedeelde weerstand voert het verschil: 3 − 1 = 2 A naar beneden. De maasstromen optellen (4 A) is de meest voorkomende slip.
4De methode stap voor stap
Tel de vensters. Teken in elk een maasstroom met de klok mee: I1, I2, …
Loop met de klok mee rond maas 1. Tel de dalingen op: voor elke weerstand R maal de stroom erdoor (zijn eigen maasstroom, of het verschil bij een gedeelde weerstand).
Stel de dalingen gelijk aan de stijgingen van de bronnen in die maas. Een bron telt als + als je hem van − naar + passeert, en als − andersom.
Herhaal dit voor elke maas. Je krijgt één vergelijking per maas.
Los de vergelijkingen op voor de maasstromen.
Bepaal de takstroom of spanning die je nodig hebt. Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Loop altijd in dezelfde richting rond als de maasstroom. Dan begint elke weerstandsterm met een plusteken.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Bepaal de maasstromen en de stroom IR3 door R3, in de richting van de pijl.
1
Ken maasstromen toe
Er zijn twee vensters, dus twee maasstromen met de klok mee, I1 en I2. R3 wordt tussen beide gedeeld.
2
KVL rond maas 1
Met de klok mee passeer je V1 van − naar +: een stijging van 10 V. R1 voert I1, en R3 voert I1 − I2.
2·I1 + 6·(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10
3
KVL rond maas 2
Maas 2 heeft geen bron, dus de dalingen tellen op tot 0. R2 en R4 voeren I2, en R3 voert I2 − I1.
4·I2 + 2·I2 + 6·(I2 − I1) = 0
−6·I1 + 12·I2 = 0 ⇒ I1 = 2·I2
4
Los de vergelijkingen op
Vul I1 = 2·I2 in de eerste vergelijking in.
8·2·I2 − 6·I2 = 10 ⇒ 10·I2 = 10
I2 = 1 A, I1 = 2 A
5
Stroom in R₃
De pijl wijst naar beneden, dezelfde kant op als I1 in R3.
IR3 = I1 − I2 = 2 − 1 = 1 A
6
Controleer het antwoord
Maas 1: R1 neemt 2·2 = 4 V en R3 neemt 6·1 = 6 V. Samen 10 V, gelijk aan V1.
Maas 2: R2 en R4 voeren 1 A en nemen 4 + 2 = 6 V. Dat is gelijk aan de 6 V over R3, zoals het hoort, want ze zitten over dezelfde twee knooppunten.
Antwoord
I1 = 2 A, I2 = 1 A en IR3 = 1 A naar beneden.
6Veelgemaakte fouten
De volledige maasstroom gebruiken in een gedeelde weerstand. Een gedeelde weerstand voert het verschil van twee maasstromen.
Het teken van een bron verkeerd nemen. Een bron van + naar − passeren in de looprichting telt als een negatieve stijging.
Sommige mazen tegen de klok in doorlopen. Houd elke maasstroom en elke looprichting met de klok mee.
Vergeten dat een negatief resultaat mag. Het betekent alleen dat de stroom tegen de klok in loopt.
Zelftoets Als je met de klok mee door maas 2 loopt, passeer je een bron van 6 V van zijn +kant naar zijn −kant. Maas 2 bevat R2 = 2 Ω en de gedeelde R3 = 4 Ω. Welke vergelijking is juist?
2·I2 + 4·(I1 − I2) = −6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = 6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6
2·I2 + 4·I2 = −6
Antwoord: 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6. Een bron van + naar − passeren is een daling, dus telt als −6 V aan de stijgingskant. In maas 2 voert de gedeelde weerstand I2 − I1, niet alleen I2 en niet I1 − I2.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: twee mazen en één spanningsbron, zoals in het uitgewerkte voorbeeld. Maas 2 heeft geen bron, dus haar vergelijking is gelijk aan 0.
Gemiddeld: twee mazen en twee spanningsbronnen, één aan elke kant. Let op het teken van de rechterbron in maas 2.
Moeilijk: drie mazen, met twee gedeelde weerstanden. De middelste maas deelt een weerstand met elke buur.
De vraag vraagt om een maasstroom, de stroom door een weerstand in de richting van de pijl, of de spanning over een weerstand met de getoonde polariteit.
Bepaal voor een spanning eerst de stroom door de weerstand en gebruik dan V = I·R.
Gebruik de maasmethode om de stroom IR2 door R2 in de richting van de pijl te vinden.
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω
Gevraagd: IR2(A)
Hints tonen
Er zijn 2 vensters, dus definieer 2 maasstromen met de klok mee (I1, I2) en schrijf per maas één vergelijking met de spanningswet.
In maas 1 voert elke weerstand I1, behalve een gedeelde weerstand, die I1 − I2 voert.
Oplossen geeft I1 = 0,95 A.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Ken maasstromen toe
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Spanningswet langs maas 1
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 3(I1 − I2) = 10
11·I1 − 3·I2 = 10
Spanningswet langs maas 2
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
R2·I2 + R3(I2 − I1) + R4·I2 = 0
8·I2 + 3(I2 − I1) + 8·I2 = 0
−3·I1 + 19·I2 = 0
Oplossen
Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200
I1 = Δ1/Δ = 190/200 = 0,95 A
I2 = Δ2/Δ = 30/200 = 0,15 A
Antwoord
IR2 = I2 = 0,15 A
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Voorbeeld 2Gemiddeld
Gebruik de maasmethode om de maasstroom I1 (met de klok mee) te vinden.
V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
Gevraagd: I1(A)
Hints tonen
Er zijn 2 vensters, dus definieer 2 maasstromen met de klok mee (I1, I2) en schrijf per maas één vergelijking met de spanningswet.
In maas 1 voert elke weerstand I1, behalve een gedeelde weerstand, die I1 − I2 voert.
Oplossen geeft I1 = −0,3387 A.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Ken maasstromen toe
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Spanningswet langs maas 1
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 12(I1 − I2) = 15
22·I1 − 12·I2 = 15
Spanningswet langs maas 2
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 15·I2 = −24
Oplossen
Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186
I1 = Δ1/Δ = −63/186 = −0,3387 A
I2 = Δ2/Δ = −348/186 = −1,871 A
Antwoord
I1 = −0,3387 A
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Voorbeeld 3Moeilijk
Gebruik de maasmethode om de stroom IR4 door R4 in de richting van de pijl te vinden.
Er zijn 3 vensters, dus definieer 3 maasstromen met de klok mee (I1, I2, I3) en schrijf per maas één vergelijking met de spanningswet.
In maas 1 voert elke weerstand I1, behalve een gedeelde weerstand, die I1 − I2 voert.
Oplossen geeft I1 = 1,135 A.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Ken maasstromen toe
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2, I3. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Spanningswet langs maas 1
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 30(I1 − I2) = 36
45·I1 − 30·I2 = 36
Spanningswet langs maas 2
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 30(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 58·I2 − 8·I3 = 0
Spanningswet langs maas 3
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 8(I3 − I2) = (−15)
−8·I2 + 18·I3 = −15
Oplossen
Δ = determinant van de coëfficiëntenmatrix = 27900
I1 = Δ1/Δ = 31680/27900 = 1,135 A
I2 = Δ2/Δ = 14040/27900 = 0,5032 A
I3 = Δ3/Δ = −17010/27900 = −0,6097 A
Antwoord
IR4 = I1 − I2 = 0,6323 A
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Vragen en antwoorden
Maasmethode: wat is het?
Maaskringanalyse is een standaardmethode om de stromen in een schakeling te vinden. Het is het tegenstuk van knooppuntanalyse: knooppuntanalyse gebruikt spanningen als onbekenden, maaskringanalyse gebruikt stromen.
Kijk naar een vlakke schakeltekening. De lege “vensters” omsloten door draden en componenten heten mazen (meshes).
Maasmethode: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Teken in elke maas (venster) van de schakeling een stroom met de klok mee.
Pas de spanningswet van Kirchhoff toe langs elke maas: de som van de spanningsvallen is nul.
In een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, is de stroom het verschil van de twee maasstromen.
Los de vergelijkingen op; een negatieve uitkomst betekent dat de stroom de andere kant op loopt.
Maasmethode: wat zijn veelgemaakte fouten?
De volledige maasstroom gebruiken in een gedeelde weerstand.
Het teken van een bron verkeerd nemen als je de lus rondgaat.
Vergeten dat een stroombron in een buitentak die maasstroom vastlegt.
Maasmethode: wat oefen je?
Makkelijk: 2 mazen, 1 bron
Gemiddeld: 2 mazen, 2 bronnen
Moeilijk: 3 mazen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.