LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Gratis oefenopgaven over LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: eigenfrequentie, Q en energie, serie- en parallel-RLC, ontwerp, verliezen en uitdoving.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
C = ?L = 4,7 mH

Een LC-schakeling met L = 4,7 mH moet resoneren bij 50 kHz. Bepaal de capaciteit C in nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
Volgende opgave →
Oefen LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte gratisOefen nu LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkeigenfrequentie, Q en energie
  2. Gemiddeldserie- en parallel-RLC
  3. Moeilijkontwerp, verliezen en uitdoving

Zo los je opgaven over LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte op

  1. Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
  2. Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
  3. Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
  4. Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Veelgemaakte fouten

  • ω₀ (rad/s) en f₀ (Hz) door elkaar halen: ze verschillen een factor 2π.
  • De serieformule voor Q gebruiken in een parallelschakeling, waar een grotere R een hogere Q geeft.
  • f₀ precies tussen f₁ en f₂ plaatsen: het is hun meetkundig gemiddelde √(f₁f₂).
  • Vergeten µH, nF en pF om te rekenen naar H en F.

Belangrijke formules

Eigenfrequentie
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energie
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom
Imax = V0√(C/L)
Kwaliteitsfactor
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Halfvermogensfrequenties
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude
e−Rt/(2L)

Leer LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte vanaf nul

Hiervoor: Wisselstroomimpedantie en fasoren

1Wat er gebeurt in een LC-schakeling

Laad een condensator op en sluit hem aan op een spoel. De condensator drijft een stroom door de spoel. De stroom bouwt een magnetisch veld op, en als de condensator leeg is houdt het veld de stroom gaande, zodat de condensator de andere kant op oplaadt. Dan loopt alles terug.

C+−Li

De energie pendelt tussen het elektrische veld van C (½Cv²) en het magnetische veld van L (½Li²), zoals een slinger pendelt tussen hoogte en snelheid. Zonder weerstand blijft de totale energie ½CV0² gelijk.

Zelftoets Waar zit de energie van een ideale LC-schakeling op het moment dat de condensatorspanning nul is?
  1. De helft in C en de helft in L
  2. Helemaal in de condensator
  3. Helemaal in de spoel, en de stroom is maximaal
  4. Ze is als warmte verloren gegaan

Antwoord: Helemaal in de spoel, en de stroom is maximaal. Bij v = 0 bevat de condensator ½Cv² = 0, dus alle energie is ½Li² in de spoel: de stroom is maximaal. Een ideale schakeling heeft geen weerstand, dus er gaat niets verloren.

2De eigenfrequentie

De schakeling oscilleert bij de frequentie waar de reactanties van L en C gelijk zijn, ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

Met L = 10 mH en C = 1 µF: LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s en f0 = 1592 Hz. De energie gaat van C naar L in een kwart van de periode T = 1/f0.

Energie geeft ook de piekstroom: ½CV0² = ½LImax², dus Imax = V0√(C/L).

Zelftoets Wat gebeurt er met f0 als je C verdubbelt?
  1. Hij halveert
  2. Hij verdubbelt
  3. Ze daalt tot f0/√2, ongeveer 0,71·f0
  4. Ze stijgt met een factor √2

Antwoord: Ze daalt tot f0/√2, ongeveer 0,71·f0. f0 is evenredig met 1/√C, dus verdubbelen van C deelt haar door √2. Ze halveert pas als C viermaal zo groot is.

3Kwaliteitsfactor en bandbreedte

Echte schakelingen verliezen energie in weerstand. De kwaliteitsfactor Q vergelijkt de opgeslagen energie met het verlies: Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Een hoge Q geeft een scherpe resonantiepiek.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

De bandbreedte is de breedte van de piek tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2, waar de stroom 0,707 van zijn piekwaarde is:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • Serie-RLC: Q = (1/R)·√(L/C) en BW = R/(2πL). Een kleine serieweerstand geeft een hoge Q.
  • Parallel-RLC: Q = R·√(C/L) en BW = 1/(2πRC). Een grote parallelweerstand geeft een hoge Q.

4De methode stap voor stap

  1. Reken L en C om naar H en F, en bepaal dan ω0 = 1/√(LC) en f0 = ω0/(2π).
  2. Bepaal of R in serie of parallel staat, en gebruik de bijpassende formule voor Q.
  3. Bepaal de bandbreedte BW = f0/Q.
  4. Gebruik voor de halfvermogensfrequenties f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)); bij een hoge Q ligt f0 ∓ BW/2 er dicht bij.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 10 Ω, L = 10 mH en C = 1 µF. Bepaal de resonantiefrequentie, de kwaliteitsfactor, de bandbreedte en de halfvermogensfrequenties.

1

Bekijk de schakeling

RLC

Alle drie de onderdelen voeren dezelfde stroom, dus dit is een serieschakeling.

2

Resonantiefrequentie

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Kwaliteitsfactor

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Bandbreedte

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Controle: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Halfvermogensfrequenties

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz en 1673 Hz

Controle: 1673 − 1514 = 159 Hz, en √(1514·1673) = 1592 Hz.

Antwoord

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz en f2 = 1,67 kHz.

6Veelgemaakte fouten

  • ω0 in rad/s en f0 in Hz door elkaar halen: ze verschillen een factor 2π.
  • De serieformule voor Q gebruiken in een parallelschakeling.
  • f0 precies tussen f1 en f2 plaatsen: het is hun meetkundig gemiddelde.
  • Vergeten mH, µH, nF en pF om te rekenen naar H en F.
Zelftoets Een parallel-RLC-schakeling heeft R = 10 kΩ, L = 10 mH en C = 1 µF. Hoe groot is Q?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Antwoord: 100. In parallel is Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. De serieformule (1/R)·√(L/C) geeft 0,01, en de wortel weglaten geeft 1.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: eigenfrequentie, Q en energie. Je bepaalt f0 of de C voor een gegeven f0, de bandbreedte uit Q of Q uit de bandbreedte, de opgeslagen energie of de piekstroom.
  • Gemiddeld: serie- en parallel-RLC. Je bepaalt Q of de bandbreedte van een serie- of parallelschakeling, de exacte halfvermogensfrequentie, de tijd waarin de energie van C naar L gaat, of de energie in L bij een gegeven condensatorspanning.
  • Moeilijk: ontwerp, verliezen en uitdoving. Je dimensioneert R voor een bandbreedte of C voor een filter, bepaalt de energie die per periode verloren gaat, de dynamische weerstand van een kring, het aantal perioden tot de amplitude is gehalveerd, of Q uit de twee halfvermogensfrequenties.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
C = ?L = 47 µH

Een LC-schakeling met L = 47 µH moet resoneren bij 500 kHz. Bepaal de capaciteit C in nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Gevraagd: C (nF)

Hints tonen
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

LC-resonantie: een opgeladen condensator die op een spoel is aangesloten drijft een stroom die hem de andere kant op oplaadt: de energie pendelt tussen het elektrische veld van C (½Cv²) en het magnetische veld van L (½Li²) met de eigenfrequentie f0 = 1/(2π√(LC)). Zonder weerstand blijft de totale energie ½CV0² constant, dus de piekstroom is Imax = V0√(C/L). Eén periode is T = 1/f0; de energie gaat in een kwart ervan van C naar L.

Hoekfrequentie

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Capaciteit

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Antwoord

C = 2,156 nF
Voorbeeld 2Gemiddeld
V2 Ω2,2 mH220 nF

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 2 Ω, L = 2,2 mH en C = 220 nF. Bepaal zijn bandbreedte BW in Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Gevraagd: BW (Hz)

Hints tonen
  1. De bandbreedte is f₀/Q.
  2. Voor serie-RLC vereenvoudigt dit tot BW = R/(2πL): C valt weg.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).

Bandbreedte in rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Bandbreedte in Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Antwoord

BW = 144,7 Hz

Met f₀ = 7,234 kHz geeft dit Q = 50.

Voorbeeld 3Moeilijk
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Een parallelle kring bestaat uit een condensator van 10 nF en een spoel van 47 µH met een wikkelweerstand van 0,5 Ω. Bij resonantie gedraagt hij zich als een weerstand, zijn dynamische weerstand RD = L/(C·r). Bepaal RD in kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Gevraagd: RD (kΩ)

Hints tonen
  1. De kring neemt bij resonantie maar een kleine stroom op, dus zijn impedantie is groot.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).

Dynamische weerstand

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Controle met Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Antwoord

RD = 9,4 kΩ

Vragen en antwoorden

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte: wat is het?

Laad een condensator op en sluit hem aan op een spoel. De condensator drijft een stroom door de spoel. De stroom bouwt een magnetisch veld op, en als de condensator leeg is houdt het veld de stroom gaande, zodat de condensator de andere kant op oplaadt. Dan loopt alles terug.

De energie pendelt tussen het elektrische veld van C (½Cv²) en het magnetische veld van L (½Li²), zoals een slinger pendelt tussen hoogte en snelheid. Zonder weerstand blijft de totale energie ½CV0² gelijk.

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
  2. Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
  3. Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
  4. Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.
LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • ω₀ (rad/s) en f₀ (Hz) door elkaar halen: ze verschillen een factor 2π.
  • De serieformule voor Q gebruiken in een parallelschakeling, waar een grotere R een hogere Q geeft.
  • f₀ precies tussen f₁ en f₂ plaatsen: het is hun meetkundig gemiddelde √(f₁f₂).
  • Vergeten µH, nF en pF om te rekenen naar H en F.
LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte: wat oefen je?
  • Makkelijk: eigenfrequentie, Q en energie
  • Gemiddeld: serie- en parallel-RLC
  • Moeilijk: ontwerp, verliezen en uitdoving

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Calculators

Resonantiefrequentie calculator (LC en RLC)

Vakken met dit onderwerp

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen

Meer onderwerpen in Elektrotechniek

Serie- en parallelweerstandenSuperpositieThévenin en NortonKnooppuntmethodeMaasmethodeRC- en RL-schakelverschijnselenWisselstroomimpedantie en fasorenWisselstroomvermogen en arbeidsfactorDraaistroomvermogenTransformatorenGelijkstroommotorenOpampschakelingenDiodes en transistorenDC-DC-omzettersDigitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsBrug van Wheatstone en rekstrookjesData-acquisitie en bemonsteringLaplacetransformatiesBlokschema’sStapresponsieBodediagrammen en margesStabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaanStationaire fout en PID-regelingConvolutie en LTI-systemen

Printbaar werkblad

Werkblad LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte met antwoorden
Oefen LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte gratisOefen nu LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.