Stationaire fout en PID-regeling: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Gratis oefenopgaven over Stationaire fout en PID-regeling met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: systeemtype en foutconstanten, stationaire fouten en versterking, P-, PI- en PD-ontwerp.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lusoverdrachtsfunctie G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Bepaal de snelheidsfoutconstante Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
Volgende opgave →
Oefen Stationaire fout en PID-regeling gratisOefen nu Stationaire fout en PID-regelingElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijksysteemtype en foutconstanten
  2. Gemiddeldstationaire fouten en versterking
  3. MoeilijkP-, PI- en PD-ontwerp

Zo los je opgaven over Stationaire fout en PID-regeling op

  1. Tel de polen van de open lus C(s)·G(s) bij s = 0: dat is het systeemtype.
  2. Bereken de foutconstante die bij de ingang hoort: Kp voor een stap, Kv voor een helling, Ka voor een parabool.
  3. Pas ess = A/(1 + Kp), A/Kv of A/Ka toe, of los het op voor de versterking die je nodig hebt.
  4. Schrijf voor een eis aan demping of snelheid het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en laat het overeenkomen met s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Veelgemaakte fouten

  • A/Kp gebruiken in plaats van A/(1 + Kp) voor een stap.
  • De procesversterking vergeten bij het laten overeenkomen van coëfficiënten: de lusversterking is K maal de procesversterking.
  • De integrator van de regelaar negeren bij het tellen van het systeemtype.
  • Verwachten dat een proportionele versterking alleen een stapfout in een type-0-lus wegneemt.

Belangrijke formules

Systeemtype
aantal polen van G(s) bij s = 0
Foutconstanten
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Stap A
ess = A/(1 + Kp)
Helling A·t
ess = A/Kv
Parabool A·t²/2
ess = A/Ka
PID-regelaar
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Tweedegraads doel
s² + 2ζωns + ωn²
Overshoot en timing
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Leer Stationaire fout en PID-regeling vanaf nul

Hiervoor: Blokschema’s, Stapresponsie

1Een commando volgen

Een teruggekoppelde lus vergelijkt het commando r met de uitgang y en werkt op de fout e = r − y. Idealiter komt de uitgang precies op het commando uit.

Vaak is dat niet zo. Nadat het transiënte verschijnsel is uitgestorven, kan een verschil blijven bestaan: de stationaire fout ess.

tyress​

Hoe groot ess is, hangt af van het type ingang (een stap, een helling of een parabool) en van het aantal integratoren in de lus.

Zelftoets Een lus met eenheidsterugkoppeling krijgt r = 1 en zijn uitgang stabiliseert op y = 0,95. Wat is de stationaire fout?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Antwoord: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. De uitgang zelf is 0,95, en het teken is positief omdat de uitgang onder het commando blijft.

2Systeemtype en foutconstanten

Het systeemtype is het aantal polen van de open lus G(s) bij s = 0, dat wil zeggen het aantal integratoren. G(s) = 10/(s(s + 5)) heeft er één, dus is type 1.

Drie foutconstanten vatten G(s) samen bij zeer lage frequentie (s → 0):

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

Met de eindwaardestelling geven ze de fout voor elke ingang:

stap A: A/(1 + Kp) helling A·t: A/Kv parabool A·t²/2: A/Ka
  • Type 0: eindige stapfout, oneindige hellingsfout.
  • Type 1: stapfout nul, eindige hellingsfout.
  • Type 2: stap- en hellingsfout nul, eindige parabolafout.
Zelftoets Wat is de snelheidsfoutconstante Kv van G(s) = 10/(s(s + 5))?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Antwoord: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), wat bij s = 0 gelijk is aan 10/5 = 2. De waarde 0,5 is de hellingsfout 1/Kv, niet de constante.

3De methode stap voor stap

  1. Schrijf de open lus op: de regelaar maal het proces, C(s)·G(s).
  2. Tel de polen bij s = 0 om het systeemtype te krijgen.
  3. Kies de foutconstante die bij de ingang past: Kp voor een stap, Kv voor een helling, Ka voor een parabool.
  4. Bereken de limiet: laat de factoren s wegvallen en vul dan s = 0 in wat overblijft.
  5. Pas de foutformule toe, of los hem op voor de versterking die een vereiste fout geeft.

Schrijf voor een eis aan demping of snelheid het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en laat het overeenkomen met s² + 2ζωns + ωn².

4Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = K/(s(s + 4)). Hij moet de helling r(t) = 2t volgen met een stationaire fout van 0,1. Bepaal K en de dempingsverhouding die daaruit volgt.

1

Bepaal het systeemtype

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) heeft één pool bij s = 0, dus de lus is type 1: een helling geeft een eindige fout.

2

Snelheidsconstante

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Vereiste Kv

De helling is A = 2, dus ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Versterking

K = 4·Kv = 80
5

Controleer de demping

Het karakteristieke polynoom is s² + 4s + 80, dus ωn = √80 = 8,94 rad/s en ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

De fout wordt gehaald, maar de stapresponsie schiet ongeveer 49 % door. Die afweging is de reden dat regelaars meer zijn dan één enkele versterking.

Antwoord

K = 80, wat ζ = 0,22 geeft.

5P-, PI- en PID-regelaars

De PID-regelaar combineert drie acties op de fout:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Proportioneel (Kp): een snellere lus en een kleinere fout voor een type-0-proces, maar de stapfout wordt nooit nul.
  • Integrerend (Ki/s): voegt een pool toe bij s = 0, zodat het type met één stijgt en een stap zonder fout wordt gevolgd.
  • Differentiërend (Kd·s): voegt demping toe en vermindert de overshoot.

Om versterkingen te kiezen, laat je coëfficiënten overeenkomen. Een PI-regelaar op G(s) = 2/(s + 3) geeft het karakteristieke polynoom s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Voor ωn = 5 rad/s en ζ = 0,8 is het doel s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Zelftoets Er wordt een integrator aan de regelaar van een type-0-lus toegevoegd. Wat gebeurt er met de stationaire fout voor een eenheidsstap?
  1. Hij wordt groter
  2. Hij wordt kleiner, maar niet nul
  3. Hij wordt nul
  4. Hij wordt oneindig

Antwoord: Hij wordt nul. De integrator maakt de lus type 1, dus Kp is oneindig en A/(1 + Kp) = 0. Een grotere proportionele versterking alleen zou de fout slechts kleiner maken.

6Veelgemaakte fouten

  • A/Kp gebruiken in plaats van A/(1 + Kp) voor een stap.
  • De procesversterking vergeten bij het laten overeenkomen van coëfficiënten: de lusversterking is de regelaarversterking maal de procesversterking.
  • Alleen de integratoren van het proces tellen en die in een PI-regelaar missen.
  • De zeros weglaten bij het berekenen van Kv: een factor (s + 3) is bij s = 0 gelijk aan 3.
Zelftoets Een stap van grootte 5 wordt aangelegd op een type-0-lus met Kp = 9. Wat is de stationaire fout?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Antwoord: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Alleen door Kp delen geeft 0,556, de stapgrootte weglaten geeft 0,1, en 4,5 is de uiteindelijke uitgang.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: systeemtype en foutconstanten. Je bepaalt het type, Kp, Kv of Ka van een overdrachtsfunctie, een stapfout, of de eindwaarde van de uitgang van een lus met P-regeling.
  • Gemiddeld: stationaire fouten en versterking. Je bepaalt de fout voor een helling, een parabool of een stap plus een helling, of de versterking die een vereiste fout geeft.
  • Moeilijk: P-, PI- en PD-ontwerp. Je kiest K voor een dempingsverhouding, bepaalt de overshoot, piektijd of insteltijd voor een gegeven K, kiest PI- of PD-versterkingen door coëfficiënten te laten overeenkomen, of bepaalt de hellingsfout met een PI-regelaar.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lusoverdrachtsfunctie G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Bepaal de versnellingsfoutconstante Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Gevraagd: Ka

Hints tonen
  1. K_a = lim s²·G(s) voor s → 0.
  2. De s² heft de dubbele pool in de oorsprong op.
  3. Ka = 2·2/2.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Stationaire fout: in een lus met eenheidsterugkoppeling en open-lusoverdrachtsfunctie G(s) is de fout E(s) = R(s)/(1 + G(s)), en volgens de eindwaardestelling is ess = lims→0 s·E(s). Het systeemtype is het aantal polen van G(s) bij s = 0. De foutconstanten zijn Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) en Ka = lim s²·G(s), allemaal voor s → 0. Een stap van grootte A geeft ess = A/(1 + Kp), een helling A·t geeft A/Kv en een parabool A·t²/2 geeft A/Ka. Een type-0-lus volgt een stap met een eindige fout, een type-1-lus volgt een stap exact en een helling met een eindige fout.

Versnellingsconstante

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Antwoord

Ka = 2
Voorbeeld 2Gemiddeld
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Bepaal de versterking K die een stationaire fout van 2 % geeft voor een stapingang.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Gevraagd: K

Hints tonen
  1. Voor een eenheidsstap is e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Stationaire fout: in een lus met eenheidsterugkoppeling en open-lusoverdrachtsfunctie G(s) is de fout E(s) = R(s)/(1 + G(s)), en volgens de eindwaardestelling is ess = lims→0 s·E(s). Het systeemtype is het aantal polen van G(s) bij s = 0. De foutconstanten zijn Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) en Ka = lim s²·G(s), allemaal voor s → 0. Een stap van grootte A geeft ess = A/(1 + Kp), een helling A·t geeft A/Kv en een parabool A·t²/2 geeft A/Ka. Een type-0-lus volgt een stap met een eindige fout, een type-1-lus volgt een stap exact en een helling met een eindige fout.

Vereiste foutconstante

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Versterking

K/10 = 49 → K = 490

Antwoord

K = 490

Controleer ook de stabiliteit van de gesloten lus: voor deze tweedegraads lus is elke K > 0 stabiel.

Voorbeeld 3Moeilijk
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

Een proportionele regelaar K = 8 stuurt het proces G(s) = 5/(s(s + 2)) aan in een lus met eenheidsterugkoppeling. Bepaal de 2%-insteltijd ts van de stapresponsie, met ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Gevraagd: ts (s)

Hints tonen
  1. Het karakteristieke polynoom is s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ is de helft van de coëfficiënt van s: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

P-, PI- en PID-regeling: de regelaar C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s werkt op de fout. Een proportionele versterking maakt de lus sneller en verkleint de fout van een type-0-proces, maar neemt die nooit weg. De integrerende term voegt een pool toe bij s = 0: het systeemtype gaat met één omhoog en een stap wordt zonder fout gevolgd. De differentiërende term voegt demping toe. Om de versterkingen te kiezen, schrijf je het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en vergelijk je het met s² + 2ζωns + ωn². Dan geldt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd met ωd = ωn√(1 − ζ²), en ts ≈ 4/(ζωn).

Karakteristiek polynoom

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ en ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Insteltijd

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Antwoord

ts = 4 s

De insteltijd hangt hier niet af van K: een grotere K laat de respons alleen sneller oscilleren.

Vragen en antwoorden

Stationaire fout en PID-regeling: wat is het?

Een teruggekoppelde lus vergelijkt het commando r met de uitgang y en werkt op de fout e = r − y. Idealiter komt de uitgang precies op het commando uit.

Vaak is dat niet zo. Nadat het transiënte verschijnsel is uitgestorven, kan een verschil blijven bestaan: de stationaire fout ess.

Stationaire fout en PID-regeling: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Tel de polen van de open lus C(s)·G(s) bij s = 0: dat is het systeemtype.
  2. Bereken de foutconstante die bij de ingang hoort: Kp voor een stap, Kv voor een helling, Ka voor een parabool.
  3. Pas ess = A/(1 + Kp), A/Kv of A/Ka toe, of los het op voor de versterking die je nodig hebt.
  4. Schrijf voor een eis aan demping of snelheid het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en laat het overeenkomen met s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Stationaire fout en PID-regeling: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • A/Kp gebruiken in plaats van A/(1 + Kp) voor een stap.
  • De procesversterking vergeten bij het laten overeenkomen van coëfficiënten: de lusversterking is K maal de procesversterking.
  • De integrator van de regelaar negeren bij het tellen van het systeemtype.
  • Verwachten dat een proportionele versterking alleen een stapfout in een type-0-lus wegneemt.
Stationaire fout en PID-regeling: wat oefen je?
  • Makkelijk: systeemtype en foutconstanten
  • Gemiddeld: stationaire fouten en versterking
  • Moeilijk: P-, PI- en PD-ontwerp

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Blokschema’sStapresponsie

Vakken met dit onderwerp

Regeltechniek 1Regeltechniek 2: ontwerp van terugkoppelingMechatronische systemenOefenen voor het FE Electrical and Computer-examenOefenen voor het FE Mechanical-examen

Meer onderwerpen in Elektrotechniek

Serie- en parallelweerstandenSuperpositieThévenin en NortonKnooppuntmethodeMaasmethodeRC- en RL-schakelverschijnselenWisselstroomimpedantie en fasorenWisselstroomvermogen en arbeidsfactorLC-resonantie, Q-factor en bandbreedteDraaistroomvermogenTransformatorenGelijkstroommotorenOpampschakelingenDiodes en transistorenDC-DC-omzettersDigitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsBrug van Wheatstone en rekstrookjesData-acquisitie en bemonsteringLaplacetransformatiesBlokschema’sStapresponsieBodediagrammen en margesStabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaanConvolutie en LTI-systemen

Printbaar werkblad

Werkblad Stationaire fout en PID-regeling met antwoorden
Oefen Stationaire fout en PID-regeling gratisOefen nu Stationaire fout en PID-regelingElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.