RC- en RL-schakelverschijnselen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: RC-kring · opladen en ontladen van een condensator · tijdconstante
Gratis oefenopgaven over RC- en RL-schakelverschijnselen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: RC opladen, RL-schakeling, condensator met beginlading.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de condensatorspanning vC op t = 10 ms.
Als je een schakelaar sluit in een schakeling met alleen weerstanden, springt elke stroom meteen naar zijn nieuwe waarde.
Een condensator of een spoel verandert dit. Ze slaan energie op, en opgeslagen energie kan niet in nul tijd veranderen. De schakeling gaat dus vloeiend van de oude naar de nieuwe toestand.
Deze vloeiende verandering heet een transiënt. Na een tijdje komt de schakeling tot rust, en verandert er niets meer.
Denk aan het vullen van een emmer via een smalle slang. De emmer is de condensator, de smalle slang is de weerstand. Het niveau stijgt eerst snel, dan steeds langzamer naarmate de emmer vol raakt.
Zelftoets Een ongeladen condensator wordt via een weerstand op een bron van 12 V aangesloten. Wat is de condensatorspanning vlak nadat de schakelaar sluit?
0 V
12 V
4,4 V
6 V
Antwoord: 0 V. Een condensatorspanning kan niet springen. Ze was 0 V vlak voordat de schakelaar sloot, dus is ze nog steeds 0 V vlak erna. Ze bereikt pas na lange tijd 12 V.
2Condensatoren en spoelen aan het begin en het eind
Je hebt voor elk onderdeel maar twee regels nodig: wat niet kan springen, en hoe het zich gedraagt als alles tot rust is gekomen.
Condensator: zijn spanning vC kan niet springen. Lang na het schakelen loopt er geen stroom meer in, dus werkt hij als een open keten (een gat).
Spoel: zijn stroom iL kan niet springen. Lang na het schakelen staat er geen spanning meer over, dus werkt hij als een kortsluiting (een draad).
De waarde vlak na het schakelen is de beginwaarde, x(0). De waarde na het tot rust komen is de eindwaarde, x(∞).
Voor een condensator die oplaadt vanaf een bron Vs: vC(0) = 0 en vC(∞) = Vs. Voor een spoel: i(0) = 0 en i(∞) = Vs/R.
Zelftoets Een bron van 12 V stuurt een weerstand van 20 Ω in serie met een spoel aan. Welke stroom loopt er lang nadat de schakelaar sluit?
0 A
0,6 A
1,67 A
240 A
Antwoord: 0,6 A. Als alles tot rust is gekomen, is de spoel een gewone draad, dus alleen de weerstand beperkt de stroom: 12/20 = 0,6 A. De 0 A is de waarde vlak na het schakelen, niet aan het eind.
3De tijdconstante
Hoe snel de verandering gaat, wordt bepaald door één getal, de tijdconstante τ (tau).
τ = R·C τ = L/R
Eenheden: kΩ maal µF geeft milliseconden. mH gedeeld door Ω geeft ook milliseconden.
Elke spanning en stroom volgt dezelfde exponentiële kromme tussen zijn beginwaarde en eindwaarde:
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Na 1τ is de verandering 63% voltooid. Na 2τ is dat 86%, na 3τ 95%.
Na ongeveer 5τ is de schakeling voor alle praktische doeleinden tot rust gekomen.
Voor een oplaadende condensator die bij 0 V begint, wordt de formule:
vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
Zelftoets Wat is de tijdconstante van een weerstand van 4,7 kΩ met een condensator van 10 µF?
0,47 ms
2,13 ms
47 ms
47 s
Antwoord: 47 ms. τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms, want kΩ maal µF geeft milliseconden. Delen in plaats van vermenigvuldigen geeft 2,13 ms.
4De methode stap voor stap
Bepaal de beginwaarde x(0) vlak na het schakelen. Gebruik de regel: vC en iL kunnen niet springen.
Bepaal de eindwaarde x(∞). Vervang een condensator door een gat en een spoel door een draad, en los dan de gelijkstroomschakeling op.
Bepaal de tijdconstante: τ = R·C of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Vul de drie waarden in x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ in.
Vul de tijd t in, in dezelfde eenheid als τ, en reken uit.
Als de vraag om een tijd vraagt, los dan dezelfde formule op voor t. Je hebt de natuurlijke logaritme, ln, nodig.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
De condensator is ongeladen als de schakelaar bij t = 0 sluit. Bepaal de tijdconstante en de condensatorspanning vC bij t = 100 ms.
1
Bekijk de schakeling
De schakelaar verbindt Vs = 10 V via R = 10 kΩ met de condensator. C = 10 µF.
2
Begin- en eindwaarde
De condensator is ongeladen en zijn spanning kan niet springen, dus vC(0) = 0 V.
Lang daarna loopt er geen stroom, dus staat er geen spanning over R. Alle 10 V staat over C.
vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3
Tijdconstante
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4
Spanning bij t = 100 ms
Hier is t precies één tijdconstante, dus t/τ = 1.
vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0,368) = 6,32 V
5
Controleer het antwoord
Na één tijdconstante hoort de condensator 63% geladen te zijn. 63% van 10 V is 6,3 V, dus het antwoord klopt.
Het ligt ook onder de bron van 10 V, zoals een opladende condensator hoort.
Antwoord
τ = 100 ms en vC = 6,32 V bij t = 100 ms.
6Veelgemaakte fouten
De oplaadformule Vs·(1 − e−t/τ) gebruiken als de condensator al een spanning heeft. Gebruik de algemene formule met x(0).
Eenheden door elkaar halen: kΩ maal µF is milliseconden, geen seconden. Houd t en τ in dezelfde eenheid.
Antwoorden met Vs·e−t/τ. Dat is het deel dat nog ontbreekt (of de weerstandsspanning), niet de condensatorspanning.
De verkeerde weerstand in τ gebruiken. Gebruik de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Zelftoets Een condensator heeft 4 V als hij op een bron van 10 V wordt geschakeld. Wat is vC na één tijdconstante? (e−1 ≈ 0,368)
10,32 V
2,21 V
6,32 V
7,79 V
Antwoord: 7,79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0,368 = 7,79 V. De oplaadformule alleen geeft 6,32 V, wat de beginspanning van 4 V negeert. 2,21 V is het deel dat nog ontbreekt.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: RC-opladen vanaf 0 V, zoals in het voorbeeld. Je bepaalt τ of de condensatorspanning op een gegeven tijdstip.
Gemiddeld: een RL-schakeling waarbij de spoelstroom bij 0 begint. Je bepaalt i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), de spoelspanning vL = Vs·e−t/τ, of de tijd om een percentage van de eindstroom te bereiken.
Moeilijk: een condensator die al een spanning heeft. Je bepaalt vC op een gegeven tijdstip, of de tijd om een gegeven spanning te bereiken.
Herschrijf de algemene formule om een tijd te vinden:
t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]
Met τ = L/R geeft mH gedeeld door Ω ms. Een spoel van 50 mH met 10 Ω heeft dus τ = 5 ms.
De condensator is geladen tot 5 V. Op t = 0 sluit de schakelaar en ontlaadt de condensator via R. Vind de condensatorspanning vC op t = 50 ms.
vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms
Gevraagd: vC(V)
Hints tonen
Een eerste-orde RC-schakeling heeft tijdconstante τ = RC. Met R in kΩ en C in µF komt τ uit in ms.
Zonder bron neemt de condensatorspanning af naar nul: vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
τ = 68 ms.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Tijdconstante
kΩ maal µF geeft milliseconden.
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
Ontlaadkromme
De condensator begint bij zijn opgeslagen spanning en neemt af naar 0 V.
vC(t) = 5·e−50/68 = 2,397 V
Antwoord
vC = 2,397 V
Voorbeeld 2Gemiddeld
De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Hoe lang na het sluiten van de schakelaar bereikt de stroom 75% van zijn eindwaarde? Vind t.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH
Gevraagd: t(ms)
Hints tonen
Voor een RL-schakeling is τ = L/R. Met L in mH en R in Ω komt τ uit in ms.
Vlak na het sluiten van de schakelaar is de spoelstroom nog nul; lang daarna gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus i(∞) = Vs/R.
τ = 3 ms, i(∞) = 0,12 A.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Tijdconstante en eindstroom
Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Los op naar de tijd
0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −3·ln(0,25) = 4,159 ms
Antwoord
t = 4,159 ms
Voorbeeld 3Moeilijk
Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 18 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat vC 8,4 V bereikt? Vind t.
Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
Gevraagd: t(ms)
Hints tonen
Gebruik de algemene eerste-orde oplossing x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Hier is x(0) de opgeslagen condensatorspanning en x(∞) de bronspanning, omdat er geen stroom door de condensator loopt als hij is uitgeslingerd.
τ = 100 ms.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante
De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms
Antwoord
t = 160,9 ms
Vragen en antwoorden
RC- en RL-schakelverschijnselen: wat is het?
Als je een schakelaar sluit in een schakeling met alleen weerstanden, springt elke stroom meteen naar zijn nieuwe waarde.
Een condensator of een spoel verandert dit. Ze slaan energie op, en opgeslagen energie kan niet in nul tijd veranderen. De schakeling gaat dus vloeiend van de oude naar de nieuwe toestand.
RC- en RL-schakelverschijnselen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
RC- en RL-schakelverschijnselen: wat zijn veelgemaakte fouten?
De laadformule gebruiken voor een schakeling die ontlaadt.
Eenheden door elkaar halen: kΩ maal µF geeft ms, niet s.
De verkeerde weerstand gebruiken in de tijdconstante.
RC- en RL-schakelverschijnselen: wat oefen je?
Makkelijk: RC opladen
Gemiddeld: RL-schakeling
Moeilijk: condensator met beginlading
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.