Blokschema’s: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Gratis oefenopgaven over Blokschema’s met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: serie, parallel en terugkoppeling, gesloten-lusoverdrachtsfuncties en fouten, verstoringen, stabiliteit en polen.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Het signaal R splitst zich in twee parallelle blokken G₂ = 11 en G₃ = 8. Hun uitgangen komen samen in een sommatiepunt met de getoonde tekens (+ and +), en de som gaat door G₁ = 9. Bepaal de totale versterking T = C/R.
Een regelsysteem is een keten van onderdelen: een regelaar, een motor, een sensor. Een blokschema tekent elk onderdeel als een vak en elk signaal als een pijl.
Een blok vermenigvuldigt zijn ingangssignaal met zijn versterking of overdrachtsfunctie G. Als 3 een blok G = 5 ingaat, komt er 15 uit.
Een sommatiepunt (een cirkel) telt signalen op of trekt ze af. Het teken naast elke binnenkomende pijl vertelt welk van de twee. Een stip is een aftakpunt: het signaal wordt gekopieerd, niet gesplitst.
Dit is het belangrijkste plaatje in de regeltechniek. De uitgang C wordt gemeten via H en afgetrokken van de referentie R. Het verschil E = R − H·C is de fout die G aandrijft.
Dit is negatieve terugkoppeling: als de uitgang te hoog is, wordt de fout kleiner en trekt die hem weer omlaag.
Zelftoets Bij een sommatiepunt komt R binnen met + en het terugkoppelsignaal B met −. R = 10 en B = 4. Wat verlaat het punt?
14
40
6
−6
Antwoord: 6. De tekens bij het punt zeggen E = R − B = 10 − 4 = 6. 14 negeert het minteken, en −6 trekt de verkeerde kant op af.
2Drie regels om elk schema te vereenvoudigen
Je reduceert een schema stap voor stap tot er één blok overblijft. Zijn versterking T = C/R is de overdrachtsfunctie van de gesloten lus.
Serie: blokken achter elkaar worden vermenigvuldigd, G₁·G₂.
Parallel: blokken die hetzelfde sommatiepunt voeden, worden opgeteld, met de tekens bij het punt: G₁ + G₂ of G₁ − G₂.
Terugkoppellus: een voorwaarts blok G met negatieve terugkoppeling H wordt G/(1 + G·H).
De terugkoppelregel volgt uit twee vergelijkingen. Bij het punt is E = R − H·C, en het blok geeft C = G·E. Dus C = G·R − G·H·C, en daarom:
T = C/R = G/(1 + G·H)
Bij positieve terugkoppeling wordt het signaal bij het punt opgeteld, en het teken in de noemer klapt om: T = G/(1 − G·H).
Het product G·H is de lusversterking. Als die groot is, komt T dicht bij 1/H: de sensor, niet het proces, bepaalt de versterking.
Zelftoets G₁ = 2 en G₂ = 5 staan in serie, met negatieve terugkoppeling H = 0,3. Wat is T = C/R?
0,75
10
2,5
−5
Antwoord: 2,5. G = 2·5 = 10 en G·H = 3, dus T = 10/(1 + 3) = 2,5. De waarde 10 negeert de lus, −5 gebruikt 1 − G·H, en 0,75 zet H in de teller.
3Lussen met overdrachtsfuncties
Echte blokken hangen af van s, bijvoorbeeld een motor G(s) = b/(s + a). Dezelfde regels gelden. Daarna haal je de breuken in breuken weg.
Met eenheidsterugkoppeling (H = 1) vermenigvuldig je teller en noemer van G/(1 + G) met (s + a):
T(s) = b/(s + a + b)
De pool van de gesloten lus is de wortel van de noemer: p = −(a + b). Hij ligt verder links dan de pool −a van de open lus, dus de lus is sneller.
De tijdconstante is τ = 1/(a + b).
De DC-versterking is T(0) = b/(a + b). Een stap van grootte A stabiliseert op css = A·T(0).
Met een sensorversterking H wordt de noemer s + a + b·H.
De stationaire fout ess is wat er na het tot rust komen overblijft van R − C. Gebruik bij eenheidsterugkoppeling de foutconstanten:
Voor een stap van grootte A: ess = A/(1 + Kp), met de positieconstante Kp = G(0).
Voor een helling r(t) = A·t: ess = A/Kv, met de snelheidsconstante Kv = lims→0 s·G(s).
Voor G(s) = 8/(s(s + 4)) valt de factor s weg: Kv = 8/4 = 2. Een helling r(t) = 1·t laat dan ess = 1/2 = 0,5 over.
Voor een lus van de tweede orde zoals G(s) = K/(s(s + 6)) heeft de gesloten lus s² + 6s + K = 0. Twee gelijke reële polen (kritische demping) vragen 6² = 4K, dus K = 9.
Uitgewerkt voorbeeld
G(s) = 6/(s + 2) wordt in een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling geplaatst. Bepaal de pool van de gesloten lus, de tijdconstante en de stationaire uitgang voor een stap van grootte 4.
1
Sluit de lus
T(s) = G/(1 + G) = 6/(s + 2 + 6) = 6/(s + 8)
2
Pool en tijdconstante
De pool is de wortel van s + 8 = 0.
p = −8, τ = 1/8 = 0,125 s
3
Stationaire uitgang
Neem s = 0 voor de DC-versterking en vermenigvuldig dan met de staphoogte.
T(0) = 6/8 = 0,75, css = 4·0,75 = 3
De fout is 4 − 3 = 1. De constante Kp = G(0) = 3 geeft hetzelfde: 4/(1 + 3) = 1.
Antwoord
p = −8, τ = 0,125 s en css = 3.
Zelftoets G(s) = 6/(s + 2) zit in een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling. Welk getal is de pool van de gesloten lus?
8
−0,125
−2
−8
Antwoord: −8. T(s) = 6/(s + 8), dus de pool is −8. −2 is de pool van de open lus vóór de terugkoppeling. Een pool is een waarde van s, dus hier is hij negatief, en −0,125 haalt hem door elkaar met τ = 1/8.
4De methode stap voor stap
Zoek de binnenste lus. Reduceer die eerst met G/(1 + G·H), of G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling.
Combineer blokken in serie (vermenigvuldigen) en parallel (optellen met de tekens bij het punt).
Herhaal tot er één blok overblijft. Dat blok is T(s) = C/R.
Haal de breuken weg: vermenigvuldig teller en noemer met de noemers van G(s).
Lees wat gevraagd wordt: de polen uit de noemer, T(0) voor de stationaire toestand, τ = 1/(grootte van de pool) voor een lus van de eerste orde.
Snelle controle: bij s = 0 kun je het schema met gewone getallen reduceren. Dat geeft direct T(0) en vangt de meeste rekenfouten.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Dit is een typische gemiddelde vraag met een binnenlus. Probeer elke stap voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Het proces G(s) = 3/(s + 1) heeft een binnenlus met negatieve terugkoppeling H₁ = 1. Een regelaar K = 4 en een buitenlus met negatieve eenheidsterugkoppeling sluiten het systeem. Bepaal de pool p van de gesloten lus en de DC-versterking T(0).
1
Bekijk het schema
Er zijn twee lussen. De binnenlus gaat alleen om het proces heen. De buitenlus gaat om alles heen, van C terug naar R.
2
Reduceer de binnenlus
Gebruik G/(1 + G·H₁) en vermenigvuldig teller en noemer met (s + 1):
Gᵢ = 3/(s + 1 + 3·1) = 3/(s + 4)
3
In serie met de regelaar
K en Gᵢ staan nu in serie, dus vermenigvuldig:
K·Gᵢ = 4·3/(s + 4) = 12/(s + 4)
4
Sluit de buitenlus
Eenheidsterugkoppeling om 12/(s + 4):
T(s) = 12/(s + 4 + 12) = 12/(s + 16)
De pool is p = −16, en T(0) = 12/16 = 0,75.
5
Controleer het antwoord
Doe het opnieuw bij s = 0 met alleen getallen. G(0) = 3, de binnenlus geeft 3/(1 + 3) = 0,75, en K maakt er 3 van.
De buitenlus geeft 3/(1 + 3) = 0,75. Dit komt overeen met T(0).
H in de teller zetten. T = G/(1 + G·H): H komt alleen voor in de lusversterking.
De buitenlus sluiten vóór de binnenlus. Werk altijd van binnen naar buiten.
De sensorversterking H vergeten in de pool: de noemer is s + a + b·H, niet s + a + b.
De pool −a van de open lus of de versterking G(0) van de open lus geven. Terugkoppeling verandert allebei.
A/Kp gebruiken voor de fout bij een stap. De juiste formule is A/(1 + Kp).
Zelftoets Een versterker G = 10 heeft positieve terugkoppeling H = 0,05: het terugkoppelsignaal wordt bij het punt opgeteld. Wat is T = C/R?
0,5
10
20
6,67
Antwoord: 20. Positieve terugkoppeling geeft T = G/(1 − G·H) = 10/(1 − 0,5) = 20. De waarde 6,67 gebruikt de formule voor negatieve terugkoppeling 10/1,5. 10 negeert de lus, en 0,5 is alleen de lusversterking G·H.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: serie, parallel en terugkoppeling. Je reduceert versterkingen in een lus, parallelle blokken met tekens, of positieve terugkoppeling. Of je sluit een eenheidslus om b/(s + a) en geeft de pool, τ, T(0) of css.
Gemiddeld: overdrachtsfuncties van de gesloten lus en fouten. Een binnenlus zoals in het voorbeeld, een sensorversterking H, de versterking K voor kritische demping, of de stationaire fout bij een stap of een helling.
Moeilijk: verstoringen, stabiliteit en polen. Een verstoring D bij de ingang van het proces, of de grootste versterking Kmax voor stabiliteit met de Routh–Hurwitz-toets.
Gebruik bij een verstoring superpositie: bepaal C uit R met D = 0, dan C uit D met R = 0, en tel de twee op.
Het signaal R splitst zich in twee parallelle blokken G₂ = 7 en G₃ = 12. Hun uitgangen komen samen in een sommatiepunt met de getoonde tekens (+ and −), en de som gaat door G₁ = 10. Bepaal de totale versterking T = C/R.
G₁ = 10G₂ = 7G₃ = 12tekens: + G₂, − G₃
Gevraagd: T
Hints tonen
Parallelle blokken die een sommatiepunt voeden, tel je op met de tekens in het punt.
De combinatie staat in serie met G₁, dus vermenigvuldig.
G₂ − G₃ = -5.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Parallelle blokken
G₂ − G₃ = 7 − 12 = −5
In serie met G₁
T = G₁·(G₂ − G₃) = 10·(−5) = −50
Antwoord
T = −50
Voorbeeld 2Gemiddeld
Een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). Op de referentie wordt een stap van grootte 2 aangelegd. Bepaal de stationaire fout ess.
G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2
Gevraagd: ess
Hints tonen
Positiefoutconstante Kₚ = G(0).
Stationaire fout voor een stap van grootte A: A/(1 + Kₚ).
Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Positiefoutconstante
Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375
Stationaire fout
ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455
Antwoord
ess = 1,455
Voorbeeld 3Moeilijk
Reduceer het blokschema met G₁ = 5/(s + 2), G₂ = 10/(s + 4), een binnenste negatieve terugkoppeling H₁ = 4 om G₂ en een buitenste negatieve terugkoppeling H₂ = 1. Bepaal de gelijkstroomversterking T(0) van C(s)/R(s).
G₁ = 5/(s + 2)G₂ = 10/(s + 4)H₁ = 4H₂ = 1
Gevraagd: T(0)
Hints tonen
Binnenste lus: G₂/(1 + G₂·H₁). Dan is T = G₁·Gᵢ/(1 + G₁·Gᵢ·H₂).
In totaal is T = G₁G₂/(1 + G₂H₁ + G₁G₂H₂). Neem voor de gelijkstroomversterking s = 0 in elk blok.
G₁(0) = 2,5, G₂(0) = 2,5.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Een regelsysteem is een keten van onderdelen: een regelaar, een motor, een sensor. Een blokschema tekent elk onderdeel als een vak en elk signaal als een pijl.
Een blok vermenigvuldigt zijn ingangssignaal met zijn versterking of overdrachtsfunctie G. Als 3 een blok G = 5 ingaat, komt er 15 uit.
Blokschema’s: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Blokschema’s: wat zijn veelgemaakte fouten?
Controleer het teken in het sommatiepunt: het G₃-pad komt binnen met −.
Alleen parallelle blokken tel je op; G₁ staat in serie ermee en vermenigvuldigt.
Parallelle blokken tel je op (met hun tekens); je vermenigvuldigt ze niet.
Blokschema’s: wat oefen je?
Makkelijk: serie, parallel en terugkoppeling
Gemiddeld: gesloten-lusoverdrachtsfuncties en fouten
Moeilijk: verstoringen, stabiliteit en polen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.