Thévenin en Norton: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: stelling van Thévenin · stelling van Norton · vervangingsschema

Gratis oefenopgaven over Thévenin en Norton met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: delernetwerk, met serieweerstand en belasting, met stroombron en belasting.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
R1​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAab

Vind de Norton-stroom IN: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 12 Ω
A
Volgende opgave →
Oefen Thévenin en Norton gratisOefen nu Thévenin en NortonElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkdelernetwerk
  2. Gemiddeldmet serieweerstand en belasting
  3. Moeilijkmet stroombron en belasting

Zo los je opgaven over Thévenin en Norton op

  1. Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
  2. Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is Vth.
  3. Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is Rth.
  4. Zet de belasting terug op het vervangingsschema: Vth in serie met Rth.
  5. Reken voor het Norton-equivalent om: IN = Vth/Rth, met RN = Rth parallel.

Veelgemaakte fouten

  • De belasting aangesloten laten terwijl je Rth bepaalt.
  • Weerstanden in serie optellen die, gezien vanaf de klemmen, eigenlijk parallel staan.
  • Vergeten dat het maximale vermogen wordt geleverd als Rload = Rth.

Belangrijke formules

Thévenin-spanning
Vth = Vopen circuit
Thévenin-weerstand
Rth: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom
IN = Vth/Rth
Belastingsstroom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale vermogensoverdracht
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Leer Thévenin en Norton vanaf nul

Hiervoor: Serie- en parallelweerstanden

1Wat een Thévenin-equivalent is

Vaak heb je alleen oog voor wat er gebeurt op twee klemmen van een schakeling, bijvoorbeeld waar een belasting is aangesloten.

De stelling van Thévenin zegt: gezien vanaf twee klemmen a en b gedraagt elke schakeling van bronnen en weerstanden zich precies als één spanningsbron in serie met één weerstand.

+−Vth​Rth​ab

Een batterij is een goed beeld: binnenin zit een chemische cel (de bron) met wat inwendige weerstand. Van buitenaf merk je alleen die twee dingen.

Dit bespaart veel werk. Zodra je Vth en Rth hebt, kun je veel verschillende belastingen proberen met telkens één regel rekenwerk.

Zelftoets Waardoor vervangt een Thévenin-equivalent een schakeling?
  1. Alleen één weerstand
  2. Eén spanningsbron in serie met één weerstand
  3. Eén stroombron in serie met één weerstand
  4. Twee spanningsbronnen parallel

Antwoord: Eén spanningsbron in serie met één weerstand. Vth in serie met Rth. De Norton-vorm gebruikt een stroombron, maar parallel aan Rth, niet in serie.

2Vth en Rth bepalen

Je vindt de twee getallen met twee aparte kleine berekeningen.

  • Vth is de onbelaste spanning (open-klemspanning): de spanning tussen a en b zonder dat er iets op is aangesloten.
  • Rth is de weerstand die je ziet als je in a en b kijkt terwijl alle onafhankelijke bronnen uit staan.

Uitzetten werkt zoals bij superpositie: een spanningsbron wordt een draad, een stroombron wordt een onderbreking.

Het Norton-equivalent is dezelfde schakeling in een andere vorm: een stroombron parallel aan dezelfde Rth.

IN​Rth​ab
IN = Vth / Rth
Zelftoets Een schakeling heeft Vth = 12 V en Rth = 4 Ω. Wat is de Norton-stroom?
  1. 0,33 A
  2. 16 A
  3. 3 A
  4. 48 A

Antwoord: 3 A. IN = Vth/Rth = 12/4 = 3 A. Het is ook de stroom die zou lopen als je a met b kortsluit.

3De methode stap voor stap

  1. Haal de belasting weg (als er een is) en markeer de klemmen a en b.
  2. Bepaal de onbelaste spanning tussen a en b. Dit is Vth.
  3. Zet alle onafhankelijke bronnen uit. Bepaal de weerstand tussen a en b met de regels voor serie en parallel. Dit is Rth.
  4. Teken het equivalent: Vth in serie met Rth, en sluit de belasting er weer op aan.
  5. De belastingstroom is IL = Vth / (Rth + RL).

Handig feit voor stap 2: als a en b open zijn, loopt er geen stroom door een weerstand die alleen naar a leidt. Er staat dus geen spanning over.

4Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een belasting RL = 4 Ω is aangesloten op a–b. Bepaal het Thévenin-equivalent en de belastingstroom IL.

1

Bekijk de schakeling

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabRL​4 Ω

We vervangen alles links van a–b door Vth en Rth.

2

Haal de belasting weg en bepaal Vth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabVth​ ?+−

Als a–b open is, loopt er geen stroom door R3, dus a staat op dezelfde spanning als het knooppunt tussen R1 en R2.

Dat knooppunt is een spanningsdeler:

Vth = 24 · 3 / (6 + 3) = 8 V
3

Zet de bron uit en bepaal Rth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω0 VabRth​ ?

De bron wordt een draad. Vanaf a gezien: R3 in serie met (R1 ∥ R2).

R1 ∥ R2 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
Rth = 2 + 2 = 4 Ω
4

Sluit de belasting weer aan

+−8 V4 Ωab
IL = Vth / (Rth + RL) = 8 / (4 + 4) = 1 A
5

De Norton-vorm

IN = 8 / 4 = 2 A

Dezelfde schakeling, andere vorm: een bron van 2 A parallel aan 4 Ω geeft dezelfde 1 A in de belasting.

Antwoord

Vth = 8 V, Rth = 4 Ω en IL = 1 A.

5Maximaal vermogen naar de belasting

Een klassieke vervolgvraag: welke belasting krijgt het meeste vermogen?

Het antwoord is de belasting die gelijk is aan de Thévenin-weerstand:

RL = Rth ⇒ Pmax = Vth² / (4·Rth)

In het voorbeeld krijgt een belasting van 4 Ω 8² / (4·4) = 4 W. Dat is de 1 A die we vonden: P = 1² · 4 = 4 W.

Zelftoets Een schakeling heeft Vth = 10 V en Rth = 5 Ω. Welke belastingsweerstand ontvangt het meeste vermogen?
  1. 0 Ω
  2. 10 Ω
  3. 2,5 Ω
  4. 5 Ω

Antwoord: 5 Ω. Maximale vermogensoverdracht treedt op als RL = Rth = 5 Ω. Dan ontvangt de belasting 10²/(4·5) = 5 W.

6Veelgemaakte fouten

  • De belasting aangesloten laten terwijl je Vth of Rth bepaalt. Haal hem eerst weg.
  • Vergeten de bronnen uit te zetten voor Rth, of een spanningsbron uitzetten als onderbreking in plaats van als draad.
  • Weerstanden in serie optellen die gezien vanaf a en b eigenlijk parallel staan. Teken de schakeling opnieuw vanuit het gezichtspunt van de klemmen.
  • Een spanningsval rekenen over een weerstand die in het open circuit geen stroom voert.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: een bron met een spanningsdeler. Je bepaalt Vth of Rth.
  • Gemiddeld: hetzelfde, met een extra serieweerstand naar de klem, zoals in het voorbeeld.
  • Moeilijk: ook een stroombron, en een belasting waarvan je de stroom moet bepalen. De uitgezette stroombron wordt een onderbreking.

Schrijf Vth en Rth duidelijk op voordat je ze gebruikt. Veel vragen vragen onderweg om een van beide.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab

Vind de Thévenin-spanning Vth gezien vanaf de klemmen a–b.

V1 = 20 VR1 = 10 ΩR2 = 8 Ω

Gevraagd: Vth (V)

Hints tonen
  1. Je hebt twee getallen nodig: Rth (zet alle bronnen uit en kijk vanaf a–b de schakeling in) en Vth (de spanning over a–b zonder iets aangesloten). De Norton-stroom en de belastingwaarden volgen uit die twee.
  2. Met V₁ kortgesloten staan R₁ en R₂, gezien vanaf a–b, parallel.
  3. Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.

R1​ = 10 ΩKORTSLUITINGR2​8 ΩAabRth​

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Vind Vth, de openklemspanning

Met a–b open verlaat er geen stroom de klemmen, dus R₁ en R₂ vormen een gewone spanningsdeler.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8) = 8,889 V
Voorbeeld 2Gemiddeld
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab

Vind de Thévenin-weerstand Rth gezien vanaf de klemmen a–b.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω

Gevraagd: Rth (Ω)

Hints tonen
  1. Je hebt twee getallen nodig: Rth (zet alle bronnen uit en kijk vanaf a–b de schakeling in) en Vth (de spanning over a–b zonder iets aangesloten). De Norton-stroom en de belastingwaarden volgen uit die twee.
  2. Met V₁ kortgesloten staat R₁ ∥ R₂, gezien vanaf a–b, in serie met R₃. Met a–b open loopt er geen stroom door R₃.
  3. R1 ∥ R2 = 1,714 Ω.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩKORTSLUITINGR2​12 ΩAabRth​

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 3 = 4,714 Ω
Voorbeeld 3Moeilijk
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABRL​2 ΩIL​

Een belasting RL = 2 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen PL in de belasting te vinden.

V1 = 9 VIs = 0,5 AR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩRL = 2 Ω

Gevraagd: PL (W)

Hints tonen
  1. Je hebt twee getallen nodig: Rth (zet alle bronnen uit en kijk vanaf a–b de schakeling in) en Vth (de spanning over a–b zonder iets aangesloten). De Norton-stroom en de belastingwaarden volgen uit die twee.
  2. Met V₁ kortgesloten en Iₛ open is Rth = (R₁ ∥ R₂) + R₃. Voor Vth moet heel Iₛ via R₃ naar A lopen.
  3. Rth = 11,33 Ω, Vth = 7,167 V.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩKORTSLUITINGR2​4 ΩAOPENBabRth​

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 8 = 11,33 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Vind Vth, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,5 + 0,5·3,333 = 3,167 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,167 + 0,5·8 = 7,167 V
Rth​ = 11,33 Ω+−Vth​7,167 VRL​2 ΩIL​

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7,167/(11,33 + 2) = 0,5375 A
PL = IL²·RL = 0,5375²·2 = 0,5778 W

Vragen en antwoorden

Thévenin en Norton: wat is het?

Vaak heb je alleen oog voor wat er gebeurt op twee klemmen van een schakeling, bijvoorbeeld waar een belasting is aangesloten.

De stelling van Thévenin zegt: gezien vanaf twee klemmen a en b gedraagt elke schakeling van bronnen en weerstanden zich precies als één spanningsbron in serie met één weerstand.

Thévenin en Norton: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
  2. Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is Vth.
  3. Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is Rth.
  4. Zet de belasting terug op het vervangingsschema: Vth in serie met Rth.
  5. Reken voor het Norton-equivalent om: IN = Vth/Rth, met RN = Rth parallel.
Thévenin en Norton: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • De belasting aangesloten laten terwijl je Rth bepaalt.
  • Weerstanden in serie optellen die, gezien vanaf de klemmen, eigenlijk parallel staan.
  • Vergeten dat het maximale vermogen wordt geleverd als Rload = Rth.
Thévenin en Norton: wat oefen je?
  • Makkelijk: delernetwerk
  • Gemiddeld: met serieweerstand en belasting
  • Moeilijk: met stroombron en belasting

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Serie- en parallelweerstanden

Daarna verder met

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Calculators

Thévenin- en Norton-equivalent berekenen

Vakken met dit onderwerp

Netwerkanalyse 1Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingenInleiding elektrotechniekMeet- en regeltechniek voor metingenOefenen voor het FE Electrical and Computer-examen

Meer onderwerpen in Elektrotechniek

Serie- en parallelweerstandenSuperpositieKnooppuntmethodeMaasmethodeRC- en RL-schakelverschijnselenWisselstroomimpedantie en fasorenWisselstroomvermogen en arbeidsfactorLC-resonantie, Q-factor en bandbreedteDraaistroomvermogenTransformatorenGelijkstroommotorenOpampschakelingenDiodes en transistorenDC-DC-omzettersDigitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsBrug van Wheatstone en rekstrookjesData-acquisitie en bemonsteringLaplacetransformatiesBlokschema’sStapresponsieBodediagrammen en margesStabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaanStationaire fout en PID-regelingConvolutie en LTI-systemen

Printbaar werkblad

Werkblad Thévenin en Norton met antwoorden
Oefen Thévenin en Norton gratisOefen nu Thévenin en NortonElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.