Knooppuntmethode: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: knooppuntspanningsmethode · knooppuntanalyse · knooppuntspanningen
Gratis oefenopgaven over Knooppuntmethode met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: 1 onbekend knooppunt, 2 onbekende knooppunten, 2 knooppunten, 3 bronnen.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Gebruik de knooppuntmethode om de stroom IR1 door R1 in de richting van de pijl te vinden.
Knooppuntanalyse is een standaardmethode om elke spanning in een schakeling te vinden. Ze werkt ook als de regels voor serie en parallel niet volstaan.
Een knooppunt is een punt waar twee of meer delen van een schakeling samenkomen. Een heel stuk gewone draad telt als één knooppunt, omdat er langs een draad geen spanningsval is.
Je kiest één knooppunt als referentie, ook wel aarde (ground) genoemd, en geeft het 0 V. Elke andere knooppuntspanning wordt vanaf dat knooppunt gemeten.
Denk aan hoogtes op een kaart, gemeten vanaf zeeniveau. Water stroomt van hoog naar laag, en de stroming in een buis hangt af van het hoogteverschil tussen de uiteinden.
Zodra je de knooppuntspanningen kent, geeft de wet van Ohm elke stroom. De knooppuntspanningen zijn dus de enige onbekenden die je nodig hebt.
Zelftoets Welk knooppunt heeft per definitie een spanning van 0 V?
Elk knooppunt zonder bron
Het knooppunt met de meeste weerstanden
Het knooppunt naast de grootste bron
Het referentieknooppunt (aarde) dat je hebt gekozen
Antwoord: Het referentieknooppunt (aarde) dat je hebt gekozen. Je kiest het referentieknooppunt zelf en noemt het 0 V. Alle andere knooppuntspanningen worden ervan afgemeten.
2Stroomwet van Kirchhoff
Lading kan zich niet in een knooppunt ophopen. Alle stroom die een knooppunt in gaat, moet er dus ook weer uit. Dit is de stroomwet van Kirchhoff (KCL).
ΣIin = ΣIout
Als bijvoorbeeld 3 A en 2 A een knooppunt in stromen, moet in totaal 5 A het via de andere takken verlaten.
Je schrijft de stroom in elke weerstand met de wet van Ohm, met de spanningen aan zijn twee uiteinden:
I = (Va − Vb) / R
Dit is de stroom van a naar b. Als het resultaat negatief is, loopt de stroom in werkelijkheid van b naar a. Dat is prima: houd het teken.
Zelftoets Knooppunt a staat op 9 V en knooppunt b op 4 V. Een weerstand van 5 Ω verbindt ze. Welke stroom loopt van a naar b?
1 A
1,8 A
2,6 A
−1 A
Antwoord: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A. De spanningen optellen geeft 2,6 A, ze omwisselen geeft −1 A, en 1,8 A negeert de spanning bij b.
3De methode stap voor stap
Kies het referentieknooppunt. De onderste draad is de gebruikelijke keuze. Markeer hem met het aardesymbool.
Zoek de knooppunten waarvan je de spanning al kent. Een knooppunt dat met een spanningsbron met aarde verbonden is, ligt op die bronspanning.
Benoem elk ander knooppunt (A, B, …). Hun spanningen VA, VB, … zijn de onbekenden.
Schrijf bij elk onbekend knooppunt KCL op: de stromen die via de weerstanden vertrekken tellen op tot de stroom die stroombronnen er in duwen.
Schrijf elke weerstandsstroom als (Vknooppunt − Vandere kant)/R, en los dan de vergelijkingen op.
Gebruik de wet van Ohm om elke takstroom te vinden waar de vraag naar vraagt.
Als je elke weerstandsstroom schrijft als vertrekkend uit het knooppunt, volgen de tekens vanzelf. Je hoeft de werkelijke richtingen niet eerst te raden.
Je hebt één vergelijking per onbekend knooppunt nodig. Schrijf nooit een vergelijking voor het referentieknooppunt: zijn spanning is al bekend.
4Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Bepaal de knooppuntspanning VA en de stroom IR1 door R1, van de bron naar A.
1
Bekijk de schakeling
De onderste draad is aarde. De bovenkant van V1 ligt 15 V boven aarde, dus dat knooppunt is bekend: 15 V.
Alleen knooppunt A is onbekend, dus je hebt één vergelijking nodig.
2
Schrijf KCL op bij A
Twee weerstanden verlaten A: R1 gaat naar het knooppunt van 15 V en R2 gaat naar aarde. De stroombron duwt 1 A in A.
(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3
Los op voor VA
Vermenigvuldig beide kanten met 6 om de breuken weg te werken.
2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4
Bepaal de stroom in R₁
IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A
Het resultaat is positief, dus 1 A stroomt werkelijk van de bron naar A.
5
Controleer het antwoord
R2 voert 12/6 = 2 A omlaag naar aarde. A in stromen 1 A door R1 en 1 A van de stroombron.
Dat is 2 A erin en 2 A eruit, dus KCL geldt bij A.
Antwoord
VA = 12 V en IR1 = 1 A.
5Twee onbekende knooppunten
Bij twee onbekende knooppunten schrijf je bij elk knooppunt één KCL-vergelijking op en los je de twee vergelijkingen samen op.
Bij knooppunt A verlaten drie weerstanden het knooppunt: R1, R2 en R3. Bij knooppunt B verlaten twee weerstanden het en de stroombron duwt er 2 A in.
A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2
Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 6 en de tweede met 3:
7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6
Tel de twee vergelijkingen op. De VB-termen vallen weg, dus 6·VA = 24.
VA = 4 V, VB = 5 V
Merk op dat R3 in beide vergelijkingen voorkomt, als (VA − VB) bij A en als (VB − VA) bij B. Dit is een snelle controle of je vergelijkingen kloppen.
6Veelgemaakte fouten
Het teken van een gedeelde weerstand verwarren: het is (VA − VB) bij A, maar (VB − VA) bij B.
Een stroombron vergeten die het knooppunt in of uit gaat.
Een KCL-vergelijking voor het referentieknooppunt schrijven, of een bekend knooppunt als onbekend behandelen.
Het minteken van een negatieve stroom weglaten. Een negatief resultaat betekent dat de stroom tegen de pijl in loopt.
Zelftoets Bij knooppunt A gaat een weerstand van 4 Ω naar aarde en een andere weerstand van 4 Ω naar een knooppunt van 12 V. Een bron van 2 A duwt stroom in A. Wat is VA?
10 V
12 V
2 V
6 V
Antwoord: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 geeft 2·VA − 12 = 8, dus VA = 10 V. De bron vergeten geeft 6 V; hem behandelen alsof hij A verlaat geeft 2 V.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: één onbekend knooppunt A, met een spanningsbron en ofwel een stroombron ofwel een tweede spanningsbron. Eén KCL-vergelijking is genoeg.
Gemiddeld: twee onbekende knooppunten A en B, met een stroombron bij B. Schrijf twee vergelijkingen op en los ze samen op.
Moeilijk: twee onbekende knooppunten en drie bronnen: twee spanningsbronnen en een stroombron. De methode is dezelfde, met meer termen.
De vraag vraagt om een knooppuntspanning, of om de stroom door één weerstand in de richting van de pijl.
Zoek voor een takstroom eerst de knooppuntspanningen. Gebruik dan I = (Vbegin − Veind)/R langs de pijl.
Alleen knooppunt A is onbekend. Schrijf één stroomwetvergelijking: de som van de takstromen die A verlaten is nul.
Elke takstroom is (VA − Vk)/Rk. Breng de termen met VA naar één kant.
Σ1/R = 0,9583 S.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
Stroomwet in knooppunt A
Neem de onderste draad als massa. Elke tak voert (VA − Vk)/Rk weg van A, waarbij Vk de spanning van de bron in die tak is (nul voor een gewone weerstand). De stromen die A verlaten zijn samen nul.
(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0
Los VA op
VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12,5/0,9583 = 13,04 V
Antwoord
VA = 13,04 V
Voorbeeld 2Gemiddeld
De spanningsbron Vₛ tussen A en B heeft haar +-klem bij B, dus ze legt VB − VA = Vₛ vast. Gebruik de knooppuntmethode met een superknooppunt om de stroom Ix door de spanningsbron te vinden, van A naar B zoals de pijl aangeeft.
Is = 1,5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω
Gevraagd: Ix(A)
Hints tonen
Een spanningsbron tussen twee knooppunten die geen massa zijn, legt hun verschil vast: VB − VA = Vs.
Schrijf één stroomwetvergelijking voor het superknooppunt rond A, B en de bron: VA/R₁ + VB/R₂ = Is.
VA = 1 V.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
Vorm een superknooppunt
De spanningsbron tussen A en B voert een onbekende stroom, dus je kunt de stroomwet niet afzonderlijk in A of B opschrijven. Neem A, B en de bron samen in één superknooppunt: de stroom die erin gaat is gelijk aan de stroom die eruit komt.
VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is
Oplossen
VA/6 + (VA + 3)/3 = 1,5
VA = (1,5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V
Stroom door de spanningsbron
Alles wat van A naar B door de bron gaat, verlaat knooppunt B via R₂.
Ix = VB/R2 = 4/3 = 1,333 A
Antwoord
Ix = 1,333 A
Een negatieve uitkomst betekent dat de werkelijke stroom tegen de pijl in loopt.
Voorbeeld 3Moeilijk
Gebruik de knooppuntmethode om de stroom IR4 door R4 in de richting van de pijl te vinden.
Neem de onderste draad als massa (0 V). Knooppunten die direct aan een spanningsbron hangen zijn al bekend, dus de onbekenden zijn VA en VB.
Schrijf de stroomwet in A: voor elke weerstand (VA − Vander uiteinde)/R, en stel de som gelijk aan elke bronstroom die A instroomt.
Oplossen geeft VA = 2,455 V. Dan is IR4 = (spanning aan de staart van de pijl − spanning aan de punt)/R4.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
Stel de knooppunten op
Massa is de onderste draad. Bekende knooppuntspanningen volgen direct uit de bronnen (V1 = 6 V, V2 = 9 V). Onbekenden: VA, VB.
Stroomwet in knooppunt A
De stromen die A via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in A sturen.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0,1333·VA − 0,05·VB = 0,3
Stroomwet in knooppunt B
De stromen die B via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in B sturen.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0,5)
−0,05·VA + 0,1333·VB = −0,05
Oplossen
Δ = (0,1333)(0,1333) − (−0,05)(−0,05) = 0,01528
VA = Δ1/Δ = 0,0375/0,01528 = 2,455 V
VB = Δ2/Δ = 0,008333/0,01528 = 0,5455 V
Antwoord
IR4 = (VB − V2)/R4 = (0,5455 − 9)/20 = −0,4227 A
Vragen en antwoorden
Knooppuntmethode: wat is het?
Knooppuntanalyse is een standaardmethode om elke spanning in een schakeling te vinden. Ze werkt ook als de regels voor serie en parallel niet volstaan.
Een knooppunt is een punt waar twee of meer delen van een schakeling samenkomen. Een heel stuk gewone draad telt als één knooppunt, omdat er langs een draad geen spanningsval is.
Knooppuntmethode: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Kies een referentieknooppunt (massa) en benoem de andere knooppuntspanningen.
Schrijf de stroomwet van Kirchhoff op in elk onbekend knooppunt: de stromen die door de takken weggaan zijn gelijk aan de stromen die binnenkomen.
Schrijf elke takstroom als (Va − Vb)/R.
Los het stelsel vergelijkingen op en bereken daarna de stromen die je nodig hebt.
Knooppuntmethode: wat zijn veelgemaakte fouten?
Het teken van een takstroom door elkaar halen tussen de twee knooppuntvergelijkingen.
Een vergelijking opschrijven voor het referentieknooppunt.
Een stroombron vergeten die een knooppunt in- of uitgaat.
Knooppuntmethode: wat oefen je?
Makkelijk: 1 onbekend knooppunt
Gemiddeld: 2 onbekende knooppunten
Moeilijk: 2 knooppunten, 3 bronnen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.