Bodediagrammen en marges: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: bodediagram · fasemarge · versterkingsmarge
Gratis oefenopgaven over Bodediagrammen en marges met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: filters en asymptoten, grootte en fase, stabiliteitsmarges.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Bepaal de kantelfrequentie (−3 dB) fc van het getoonde RC-hoogdoorlaatfilter, met R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Geef haar in Hz.
Voer een sinusgolf in een filter of versterker, en er komt een sinus van dezelfde frequentie uit. Slechts twee dingen veranderen: de grootte en de timing.
De versterking |H| is de verhouding tussen de uitgangsamplitude en de ingangsamplitude. De fase φ is hoeveel de uitgang verschoven is, in graden. Een negatieve fase betekent dat de uitgang achterloopt.
Beide hangen af van de frequentie. Een Bodediagram tekent ze tegen de frequentie: de versterking in decibel bovenaan, de fase eronder. De frequentie-as is logaritmisch, dus elke decade (×10) krijgt dezelfde breedte.
Decibel zet een verhouding om in een getal dat je kunt optellen:
|H|dB = 20·log₁₀|H|
Een versterking van 1 is 0 dB, 10 is 20 dB, 100 is 40 dB, en 0,1 is −20 dB.
Een versterking van 1/√2 ≈ 0,707 is −3 dB. Dit is de rand van het doorlaatgebied van een filter.
Zelftoets Een versterker heeft een versterking van 100. Wat is zijn versterking in decibel?
100 dB
2 dB
20 dB
40 dB
Antwoord: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB gebruikt 10·log₁₀, dat voor vermogensverhoudingen is, niet voor spanningen. 2 is alleen log₁₀(100).
2Filters van de eerste orde
Een weerstand met een condensator of een spoel vormt het eenvoudigste filter. Een laagdoorlaatfilter laat lage frequenties door en verzwakt hoge. Een hoogdoorlaatfilter doet het tegenovergestelde.
Bij het RC-laagdoorlaatfilter (links) staat de uitgang over de condensator. Bij het RC-hoogdoorlaatfilter (rechts) staat hij over de weerstand. Met een spoel staat de uitgang van een laagdoorlaatfilter over R, en van een hoogdoorlaatfilter over L.
De verandering gebeurt rond de hoekfrequentie, waar de versterking −3 dB is. Ze is hetzelfde voor de laagdoorlaat- en de hoogdoorlaatversie:
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc is in rad/s en fc in Hz. Zet R, C en L eerst in basiseenheden: Ω, F en H.
De grafiek toont een laagdoorlaatfilter. Onder ωc is de versterking ongeveer 0 dB. Erboven daalt de versterking met 20 dB per decade. De fase gaat van 0° naar −90° en is −45° bij de hoekfrequentie.
Bij elke frequentie, met de verhouding x = f/fc = ω/ωc:
Laagdoorlaat: |H| = 1/√(1 + x²) en φ = −atan x.
Hoogdoorlaat: |H| = x/√(1 + x²) en φ = 90° − atan x.
Uitgewerkt voorbeeld
Bepaal de hoekfrequentie fc van een RL-hoogdoorlaatfilter met R = 470 Ω en L = 47 mH.
1
Basiseenheden
L = 47 mH = 0,047 H
2
Hoekfrequentie in rad/s
ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3
Hoekfrequentie in Hz
fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Antwoord
fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).
Zelftoets Een RC-laagdoorlaatfilter heeft R = 1 kΩ en C = 1 µF. Wat is zijn hoekfrequentie fc?
1000 Hz
159 Hz
159 kHz
6283 Hz
Antwoord: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, dus fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 is ωc in rad/s, niet Hz. 6283 vermenigvuldigt met 2π, en 159 kHz vergeet de k in kΩ.
3Bodediagrammen met rechte lijnen
Voor een overdrachtsfunctie G(s) kun je de amplitude met rechte lijnen schetsen. Elke factor verandert de helling bij zijn eigen hoekfrequentie.
Een poolfactor (s + p) in de noemer buigt de lijn vanaf ω = p met 20 dB/decade omlaag.
Een nulpuntfactor (s + z) in de teller buigt hem vanaf ω = z met 20 dB/decade omhoog.
Een factor s in de noemer (een integrator) geeft bij elke frequentie −20 dB/decade, en −90° fase.
Zonder integrator begint de grafiek vlak bij de DC-versterking G(0), omgerekend naar dB.
De figuur toont G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, dus de grafiek begint op 20 dB. Hij buigt bij 10 rad/s naar −20 dB/decade en bij 100 rad/s naar −40 dB/decade.
Om de helling in een band te vinden: begin met −20 dB/decade per integrator, tel dan −20 op voor elke poolhoekfrequentie en +20 voor elke nulpunthoekfrequentie onder die band.
Zelftoets G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Wat is de helling van de rechte-lijngrafiek tussen 5 en 50 rad/s?
0 dB/decade
−20 dB/decade
−40 dB/decade
−60 dB/decade
Antwoord: −40 dB/decade. De integrator geeft vanaf het begin −20. De pool bij 5 voegt −20 toe, dus de helling is −40 tussen 5 en 50. Het nulpunt bij 50 brengt hem boven 50 terug naar −20. −60 behandelt het nulpunt als een pool.
4Exacte waarden bij één frequentie
Rechte lijnen zijn een schets. Voor een exacte waarde vul je s = jω in. Elke factor (jω + a) is een complex getal met:
|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)
De grootte van G is het product van de groottes van de tellers gedeeld door het product van de groottes van de noemers. De fase is de som van de hoeken van de tellers min de som van de hoeken van de noemers.
Voorbeeld: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)) bij ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 en |j4 + 4| = 5,657, dus |G| = 150/28,28 = 5,30, dat is 14,5 dB.
De fase is −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°.
Een RLC-serieschakeling met de uitgang over R is een banddoorlaatfilter. Het laat frequenties dicht bij de resonantiefrequentie ω₀ = 1/√(LC) door. De bandbreedte is BW = R/L in rad/s, en de kwaliteitsfactor Q = ω₀/BW.
Schrijf G(s) of H(jω) op. Bepaal bij een RC- of RL-filter eerst ωc en de verhouding x = ω/ωc.
Bepaal voor elke factor zijn grootte √(ω² + a²) en zijn hoek atan(ω/a).
Vermenigvuldig en deel de groottes. Tel de hoeken van nulpunten op en trek de hoeken van polen af; een integrator voegt −90° toe.
Reken de grootte om naar dB met 20·log₁₀.
Controleer met de rechte-lijnschets: de exacte waarde moet er dicht bij liggen, en bij één hoekfrequentie 3 dB eronder.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Dit is een typische gemiddelde vraag. Probeer elke stap voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Een RC-laagdoorlaatfilter heeft R = 10 kΩ en C = 100 nF. Een sinus van 480 Hz wordt aangelegd. Bepaal de versterking |H| in dB en de faseverschuiving φ.
1
Kantelfrequentie
Gebruik basiseenheden: R = 10 000 Ω en C = 0,0000001 F.
ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2
Frequentieverhouding
x = f/fc = 480/159,2 = 3,016
De ingang ligt boven de hoekfrequentie, dus verwacht een duidelijk verlies aan versterking.
3
Versterking
|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4
Fase
Een laagdoorlaatfilter laat de uitgang achterlopen, dus de fase is negatief.
φ = −atan(3,016) = −71,7°
5
Controleer het antwoord
De rechte lijn geeft −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, dicht bij de exacte −10,0 dB.
Antwoord
|H| ≈ −10,0 dB en φ ≈ −71,7°.
6Veelgemaakte fouten
10·log₁₀ gebruiken voor een spanningsversterking. Voor versterkingen van signalen gebruik je 20·log₁₀.
ω en f door elkaar halen. ωc = 1/(RC) is in rad/s; deel door 2π voor Hz.
L/R gebruiken als hoekfrequentie van een RL-filter. L/R is de tijdconstante; de hoekfrequentie is ωc = R/L.
Groottes optellen als ω + a. De grootte van jω + a is √(ω² + a²).
De integrator vergeten: 1/s geeft bij elke frequentie −20 dB/decade en −90°.
De waarde van de rechte lijn geven als om de exacte grootte gevraagd wordt.
Zelftoets Wat is de DC-versterking van G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) in dB?
16,0 dB
32,0 dB
40 dB
52,0 dB
Antwoord: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, en 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB gebruikt 10·log₁₀. 40 is de verhouding, niet dB. 52,0 dB vergeet s = 0 in de noemer in te vullen.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: filters en asymptoten. De hoekfrequentie van een RC- of RL-filter in Hz of rad/s, de helling van een rechte-lijngrafiek in een band, of de DC-versterking in dB.
Gemiddeld: grootte en fase. De versterking in dB of de fase van een filter bij een gegeven frequentie, de exacte |G(jω)| of ∠G(jω) van een overdrachtsfunctie, of f₀, BW of Q van een RLC-banddoorlaatfilter.
Moeilijk: stabiliteitsmarges van een lus L(s), zoals 85/(s(s + 5)) of K/(s(s + a)(s + b)).
Voor het moeilijke niveau heb je twee frequenties nodig. Bij de versterkingsdoorsnijding ωc is |L(jω)| = 1 (0 dB). Bij de fasedoorsnijding ω180 is ∠L(jω) = −180°.
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
Voor L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) ligt de fasedoorsnijding bij ω180 = √(a·b). Een lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Bepaal de versterking bij lage frequentie (gelijkspanning) van G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) in decibel, |G(0)| in dB.
G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))
Gevraagd: |G(0)|(dB)
Hints tonen
Bij zeer lage frequentie gaat s → 0.
G(0) = 0,3.
20·log₁₀(0,3).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Gelijkstroomversterking
G(0) = 0,3
In decibel
20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB
Antwoord
|G(0)| = −10,46 dB
Voorbeeld 2Gemiddeld
Het getoonde RC-laagdoorlaatfilter heeft R = 1 kΩ, C = 1 nF. Er wordt een sinusvormige ingang van 1600 kHz aangelegd. Bepaal de faseverschuiving φ van vout ten opzichte van vin, in graden.
R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz
Gevraagd: φ(°)
Hints tonen
Bepaal eerst de kantelfrequentie: fc = 159155 Hz.
H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
f/fc = 10,05.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Kantelfrequentie
ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05
Fase
φ = − atan(10,05) = −84,32°
Antwoord
φ = −84,32°
Voorbeeld 3Moeilijk
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 185/(s(s + 5)). Bepaal de fasemarge PM in graden.
Los de kwadratische vergelijking in x = ω² op: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Versterkingsdoorsnijding
ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s
Fasemarge
∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°
Antwoord
PM = 20,82°
Vragen en antwoorden
Bodediagrammen en marges: wat is het?
Voer een sinusgolf in een filter of versterker, en er komt een sinus van dezelfde frequentie uit. Slechts twee dingen veranderen: de grootte en de timing.
De versterking |H| is de verhouding tussen de uitgangsamplitude en de ingangsamplitude. De fase φ is hoeveel de uitgang verschoven is, in graden. Een negatieve fase betekent dat de uitgang achterloopt.
Bodediagrammen en marges: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Bodediagrammen en marges: wat zijn veelgemaakte fouten?
Dat is de versterking als verhouding. Reken om: 20·log₁₀(0,3).
Gebruik voor een spannings- of signaalverhouding 20·log₁₀, niet 10·log₁₀ (dat is voor vermogen).
Stel s = 0 in elke factor: G(0) = 0,3, niet 12.
Bodediagrammen en marges: wat oefen je?
Makkelijk: filters en asymptoten
Gemiddeld: grootte en fase
Moeilijk: stabiliteitsmarges
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.