Een signaal f(t) heeft de Laplacetransformatie F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). Gebruik de eindwaardestelling om de waarde f(∞) te vinden waartoe f(t) komt.
Gevraagd: f(∞)
Hints tonen
- Eindwaardestelling: f(∞) = lim s·F(s) voor s → 0.
- Controleer eerst dat alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen, zodat f(t) echt tot rust komt.
- s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Controleer of de stelling geldt
De stelling geldt alleen als f(t) tot rust komt; een pool op de imaginaire as of in het rechterhalfvlak geeft een fout antwoord.