Inverse Laplacetransformatie berekenen (breuksplitsen)
Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.
Resultaat
Bepaal de inverse Laplacetransformatie van een rationale functie F(s) = N(s)/D(s). Voer de coëfficiënten van de teller en de noemer in, hoogste macht van s eerst. De calculator schrapt gemeenschappelijke factoren, deelt een onechte breuk uit, vindt de polen, berekent elke coëfficiënt van de partiële breuken (voor enkelvoudige, herhaalde en complexe polen) en schrijft f(t) als een som van exponentiële functies, machten van t, sinussen en cosinussen.
Stapsgewijze oplossing
Schrijf F(s) als een quotiënt van veeltermen
Polen: nulpunten van de noemer
Partieelbreuken
Gebruikte transformatieparen
Inverse Laplacetransformatie
Hoe vind je een inverse Laplacetransformatie met breuksplitsen
- Zorg dat F(s) een echte breuk is: als de graad van de teller niet lager is dan die van de noemer, deel dan eerst. Het veeltermgedeelte geeft impulsen δ(t), δ′(t), enzovoort.
- Ontbind de noemer in factoren om de polen te vinden: een reële pool a geeft een factor (s − a), een complex paar a ± bj geeft (s − a)² + b².
- Schrijf F(s) als een som van partiële breuken en bepaal de coëfficiënten. Voor een enkelvoudige pool is A = [(s − a)·F(s)] bij s = a (de afdekmethode); herhaalde polen vragen om afgeleiden.
- Transformeer elke term met de tabel: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! en (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Tel de termen op voor f(t) met t ≥ 0.
Vragen en antwoorden
Hoe voer ik F(s) in?
Typ de coëfficiënten van elke veelterm van de hoogste macht van s naar beneden, gescheiden door spaties, met nullen voor ontbrekende machten. (s + 3)/(s² + 3s + 2) is teller 1 3 en noemer 1 3 2; 1/(s³ + 4s) is teller 1 en noemer 1 0 4 0. Breuken zoals 1/2 en decimalen zijn toegestaan.
Wat is de afdekmethode?
Vermenigvuldig bij een enkelvoudige pool bij s = a de F(s) met (s − a), schrap, en vul s = a in. Voor F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) geeft dat 2/1 = 2 bij s = −1 en 1/(−1) = −1 bij s = −2, dus f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Hoe worden complexe polen behandeld?
Een paar polen a ± bj geeft een term (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), waarvan de inverse e^(at)·(B cos bt + C sin bt) is. De calculator vindt B en C uit de complexe coëfficiënt A bij a + bj: B = 2·Re A en C = −2·Im A.
Wat als de graad van de teller te hoog is?
Dan is F(s) een onechte breuk. Staartdeling van veeltermen geeft F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). De veelterm Q(s) transformeert in impulsen: een constante c geeft c·δ(t), c·s geeft c·δ′(t), enzovoort. Het echte deel R(s)/D(s) wordt zoals gebruikelijk in partiële breuken ontwikkeld.
Hoe nauwkeurig zijn de resultaten?
Gemeenschappelijke en herhaalde factoren worden exact gevonden, met breuken. De nulpunten en coëfficiënten worden daarna numeriek berekend tot ongeveer 14 cijfers en getoond met 4 significante cijfers, dus irrationale polen, zoals die van s² + s + 1, verschijnen als decimalen.
Waarom is f(t) alleen geldig voor t ≥ 0?
De eenzijdige Laplacetransformatie gebruikt alleen de waarden van f voor t ≥ 0. Strikt genomen is het resultaat f(t)·u(t), met u de eenheidssprong, dus f(t) = 0 voor t < 0.
Oefen het zelf
Oefen Laplacetransformaties
Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.