Signalen en systemen: oefenopgaven en tentamenvragen

Continue en discrete signalen die door lineaire tijdinvariante systemen gaan: convolutie, impuls- en stapresponsie, de Laplacetransformatie, frequentierespons en fourierreeksen. Tentamens combineren schetsen met korte berekeningen.

Oefen dit vak gratisDit vak oefenenMaak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Samenvattingspakket (pdf)Formuleoverzichten, methodestappen en oefenopgaven met volledige oplossingen, klaar om af te drukken.

Onderwerpen in dit vak

  1. Convolutie en LTI-systemendiscrete convolutie · continue convolutie · impulsresponsie en fourierreeksrekenopgaven
  2. Laplacetransformatiestabelparen en waardestellingen · inverse transformatie met partieelbreuken · Differentiaalvergelijkingen en overdrachtsfunctiesrekenopgaven
  3. Stapresponsieeerste-ordesystemen · tweede-ordeparameters · fysische systemen en ontwerprekenopgaven
  4. Bodediagrammen en margesfilters en asymptoten · grootte en fase · stabiliteitsmargesrekenopgaven

Tentamentips voor Signalen en systemen

  • Schets de signalen voordat je convolueert: de overlap geeft de grenzen van de som of integraal.
  • De uitgang van een LTI-systeem begint bij de som van de starttijden en eindigt bij de som van de eindtijden.
  • Een sinusoïde komt eruit met dezelfde frequentie, geschaald met |H(jω)| en verschoven met ∠H(jω).

Uitgewerkte voorbeelden

Convolutie en LTI-systemenMakkelijk
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

De rijen x[n] = {4, −3, −2} en h[n] = {3, 1} beginnen allebei bij n = 0. Bepaal het monster y[1] van de convolutie y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Gevraagd: y[1]

Hints tonen
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Voor n = 1 zijn de termen k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Discrete convolutie: de uitgang van een lineair tijdinvariant systeem is y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: spiegel h, verschuif hem over n, vermenigvuldig monster voor monster met x en tel op. Als x Lx monsters heeft vanaf nx en h Lh monsters vanaf nh, dan heeft y Lx + Lh − 1 monsters vanaf nx + nh. De som van alle monsters van y is gelijk aan (Σx)·(Σh). Een FIR-filter y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … is een convolutie met h[n] = bn.

Termen van de som

Alleen de k waarvoor zowel x[k] als h[n − k] bestaat, dragen bij.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Tel ze op

y[1] = −5

Antwoord

y[1] = −5
LaplacetransformatiesGemiddeld
ReIm−5−10−15−20−25

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). De inverse transformatie heeft de vorm f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Bepaal de coëfficiënt A met partieelbreuken.

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)

Gevraagd: A

Hints tonen
  1. Ontbind de noemer in factoren: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
  2. Afdekregel: A = [(s + 6)·F(s)] bij s = −6.
  3. Bij s = −6: teller 16, andere factor 2.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).

Ontbind de noemer

s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)

Afdekregel

Vermenigvuldig met (s + 6) en vul s = −6 in: de B-term valt weg.

A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8

Antwoord

A = 8
(B = −7, dus f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)

Zo werkt het oefenen

  • “Dit vak oefenen” mengt opgaven uit al zijn onderwerpen, net als een echt tentamen.
  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Proeftentamens zijn getimed en hebben geen hints, en aan het eind krijg je je score en een volledige bespreking.

Calculators voor dit vak

Inverse Laplacetransformatie berekenen (breuksplitsen)Decibel berekenen (dB, dBm en geluidsniveaus)Bodediagram berekenen (versterkings- en fasemarge)Laplacetransformatie berekenen

Gerelateerde vakken

Regeltechniek 1Oefenen voor het FE Electrical and Computer-examenRegeltechniek 2: ontwerp van terugkoppelingTechnische wiskunde 2Oefenen voor het FE Mechanical-examenNetwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingenMechatronische systemenNetwerkanalyse 1
Oefen dit vak gratisDit vak oefenenMaak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.