Stapresponsie: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Gratis oefenopgaven over Stapresponsie met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: eerste-ordesystemen, tweede-ordeparameters, fysische systemen en ontwerp.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Een ongeladen condensator C = 47 µF wordt opgeladen vanuit een stapbron van 5 V via een weerstand R = 4,7 kΩ. Bepaal de condensatorspanning vC op t = 220,9 ms.
Een stap is een ingang die op t = 0 van 0 naar een constante waarde springt en daar blijft. Denk aan het aanzetten van een kachel, of het intrappen en vasthouden van het gaspedaal.
De stapresponsie is hoe de uitgang volgt. Hij kan niet in één keer springen: hij beweegt naar een nieuwe eindwaarde y(∞) en komt daar tot rust.
Kromme a stijgt soepel en schiet nooit door. Dat is een systeem van de eerste orde, zoals een RC-schakeling of een verwarmde tank.
Kromme b schiet door, zwaait een paar keer en komt dan tot rust. Dat is een onderkritisch gedempt systeem van de tweede orde, zoals een autovering of een massa aan een veer.
De eindwaarde komt uit de DC-versterking G(0): een stap van grootte U komt tot rust op y(∞) = G(0)·U. Dit is de eindwaardestelling uit de Laplacetransformaties.
Zelftoets Een systeem G(s) = 3/(2s + 1) krijgt een stap van grootte 4. Wat is de eindwaarde y(∞)?
12
3
4
6
Antwoord: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, dus y(∞) = 3·4 = 12. De waarde 4 vergeet de versterking, 3 vergeet de staphoogte, en 6 deelt door de 2 in 2s, die bij s = 0 verdwijnt.
2Systemen van de eerste orde
Een systeem van de eerste orde heeft de standaardvorm hieronder. K is de statische versterking en τ de tijdconstante in seconden.
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
Als G(s) is geschreven als b/(s + a), deel dan teller en noemer door a. Dan is K = b/a en τ = 1/a.
Na 1τ heeft de uitgang 63% van zijn verandering gedaan, na 3τ 95%, na 5τ meer dan 99%.
De tijd om een fractie x van de eindwaarde te bereiken: t = −τ·ln(1 − x). Voor 90% is t = τ·ln 10 = 2,3τ.
De stijgtijd van 10–90% is tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
Voor een RC-schakeling is τ = R·C. Let op dat kΩ maal µF milliseconden geeft.
Als je de responsie meet, kun je τ achterstevoren vinden. Als de uitgang op tijd t een fractie x bereikte, dan is τ = −t/ln(1 − x).
Uitgewerkt voorbeeld
G(s) = 10/(s + 5) krijgt op t = 0 een stap van grootte 2. Bepaal de eindwaarde en de tijd om 90% ervan te bereiken.
1
Standaardvorm
Deel teller en noemer door 5:
G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2
Eindwaarde
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
Tijd tot 90%
Los op 1 − e−t/τ = 0,9, dus e−t/τ = 0,1:
t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Antwoord
y(∞) = 4 en de uitgang bereikt 90% na t ≈ 0,461 s.
Zelftoets Wat is de tijdconstante van G(s) = 10/(s + 5)?
0,2 s
10 s
2 s
5 s
Antwoord: 0,2 s. Geschreven als 2/(0,2s + 1) is de tijdconstante τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s verwart τ met a, en 2 is de versterking K, geen tijd.
3Systemen van de tweede orde
Een systeem van de tweede orde heeft een kwadratische noemer. Vergelijk hem met de standaardvorm:
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
De constante term is ωn², dus de eigenfrequentie is ωn = √(constante term), in rad/s.
De coëfficiënt van s is 2ζωn, dus de dempingsverhouding is ζ = (coëfficiënt van s)/(2ωn).
Voor 0 < ζ < 1 schiet de responsie door en oscilleert. Een kleinere ζ betekent meer overshoot.
Voor een eenheidsstap is de eindwaarde G(0) = K/ωn². Vijf getallen beschrijven de vorm van de responsie:
ωd is de gedempte frequentie: hoe snel de responsie oscilleert.
tp is de piektijd, wanneer de uitgang het hoogst is. %OS is het percentage overshoot boven de eindwaarde.
ts is de insteltijd, waarna de uitgang binnen 2% van de eindwaarde blijft.
De twee polen zijn s = σ ± jωd, met reëel deel σ = −ζωn. Hun afstand tot de oorsprong is ωn, en cos θ = ζ.
Zelftoets Een systeem heeft de noemer s² + 4s + 25. Wat is de dempingsverhouding ζ?
0,08
0,4
0,8
2
Antwoord: 0,4. ωn = √25 = 5, en 2ζωn = 4 geeft ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 vergeet de 2, 0,08 deelt door ωn² in plaats van door ωn, en 2 is ζωn.
4De methode stap voor stap
Bepaal de orde: een noemer van graad 1 is eerste orde, graad 2 is tweede orde.
Eerste orde: schrijf G(s) als K/(τs + 1) en lees K en τ af.
Tweede orde: vergelijk de noemer met s² + 2ζωns + ωn². Bepaal eerst ωn, dan ζ.
Bepaal de eindwaarde y(∞) = G(0)·U.
Pas de formule toe voor wat gevraagd wordt: y(t), een tijd, tp, %OS, ts of σ.
Controleer de eenheden: tijden in seconden, ω in rad/s, en de hoek in de formules met e… en π in radialen.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Dit is een typische gemiddelde vraag. Probeer elke stap voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
G(s) = 16/(s² + 4s + 16) krijgt een eenheidsstap. Bepaal ζ, ωn, het percentage overshoot en de piektijd.
1
Eigenfrequentie
De constante term is ωn² = 16.
ωn = √16 = 4 rad/s
2
Dempingsverhouding
De coëfficiënt van s is 2ζωn = 4.
ζ = 4/(2·4) = 0,5
ζ ligt tussen 0 en 1, dus de responsie schiet door.
3
Percentage overshoot
ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4
Piektijd
ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5
Controleer het antwoord
De eindwaarde is G(0) = 16/16 = 1, dus de piek is ongeveer 1,163. De figuur in de vorige sectie gebruikt ditzelfde systeem.
De insteltijd 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s komt later dan de piek, zoals het hoort.
Antwoord
ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3% en tp ≈ 0,907 s.
6Veelgemaakte fouten
De stijging als lineair behandelen. Een exponentiële bereikt 90% na 2,3τ, niet na 0,9τ: gebruik t = −τ·ln(1 − x).
ln(x) gebruiken in plaats van ln(1 − x). De logaritme neemt het deel dat nog ontbreekt.
τ = a aflezen uit b/(s + a). De tijdconstante is 1/a.
ωn² gebruiken als ωn. Neem de wortel van de constante term.
De 2 in 2ζωn vergeten, of ωn gebruiken in plaats van ωd in tp = π/ωd.
De overshoot als fractie (0,163) geven als om een percentage (16,3%) gevraagd wordt.
Zelftoets G(s) = 2/(s + 4) krijgt een stap. Hoe lang duurt het voordat de uitgang 90% van zijn eindwaarde bereikt?
0,026 s
0,225 s
0,576 s
9,21 s
Antwoord: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s en t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. 0,225 s behandelt de stijging als lineair (0,9τ). 0,026 s gebruikt ln(0,9) in plaats van ln(0,1). 9,21 s gebruikt a = 4 in plaats van τ.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: systemen van de eerste orde. Je bepaalt y(∞), de uitgang op een gegeven moment, de tijd om een percentage te bereiken, τ uit een gemeten punt, of de oplaadtijd van een RC-schakeling.
Gemiddeld: parameters van de tweede orde. Uit G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) bepaal je ζ, ωn, %OS, tp, ts of het reële deel σ van de polen.
Moeilijk: fysieke systemen en ontwerp. Een massa–veer–dempersysteem of RLC-schakeling, of ζ en ωn teruggerekend uit een gemeten overshoot en piektijd.
Voor een massa m, demper c en veer k geeft de vergelijking m·x″ + c·x′ + k·x = F:
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
Om terug te rekenen vanuit een overshoot los je de formule voor %OS op voor ζ:
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Gelijkstroomversterking
G(0) = 2
Eindwaarde
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
Antwoord
y(∞) = 4
Voorbeeld 2Gemiddeld
Een systeem heeft de overdrachtsfunctie G(s) = 213/(s² + 8s + 71) en krijgt een eenheidsstap als ingang. Bepaal de procentuele overshoot %OS van de stapresponsie.
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
Gevraagd: %OS(%)
Hints tonen
Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0,4747.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Vergelijk met de standaardvorm
De noemer moet overeenkomen met s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747
Resultaat
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %
Antwoord
%OS = 18,37 %
Voorbeeld 3Moeilijk
Een massa m = 2,5 kg hangt aan een veer k = 800 N/m met een viskeuze demper c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). In rust in evenwicht wordt plotseling een constante kracht F = 10 N aangelegd. Bepaal het tijdstip tp waarop de uitwijking het grootst is.
m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
Gevraagd: tp(s)
Hints tonen
Deel door m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, dus ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)).
ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
De eind-uitwijking is F/k = 12,5 mm.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Eigenfrequentie en dempingsfactor
ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006
Resultaat
ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s
Antwoord
tp = 0,1765 s
Vragen en antwoorden
Stapresponsie: wat is het?
Een stap is een ingang die op t = 0 van 0 naar een constante waarde springt en daar blijft. Denk aan het aanzetten van een kachel, of het intrappen en vasthouden van het gaspedaal.
De stapresponsie is hoe de uitgang volgt. Hij kan niet in één keer springen: hij beweegt naar een nieuwe eindwaarde y(∞) en komt daar tot rust.
Stapresponsie: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Stapresponsie: wat zijn veelgemaakte fouten?
De uitgang komt tot rust op K·U, niet op U: de gelijkstroomversterking is G(0) = 2.
Druk de overshoot uit in procenten: vermenigvuldig met 100.
De exponent is −ζπ/√(1 − ζ²).
Stapresponsie: wat oefen je?
Makkelijk: eerste-ordesystemen
Gemiddeld: tweede-ordeparameters
Moeilijk: fysische systemen en ontwerp
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.