Convolutie en LTI-systemen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

1Wat convolutie doet

Een lineair tijdinvariant (LTI) systeem wordt volledig beschreven door zijn impulsresponsie h: de uitgang die het geeft als de ingang één korte stoot is.

Elke ingang kun je zien als een rij geschaalde, verschoven stoten. Elke stoot geeft een geschaalde, verschoven kopie van h, en de uitgang is de som van alle kopieën. Die som is de convolutie y = x ∗ h.

Convolutie komt overal voor waar een systeem geheugen heeft: filters, sensoren, constructies, schakelingen en de uitspreiding van een signaal in de tijd.

2Discrete convolutie stap voor stap

Voor rijen is de convolutie een som:

1. Spiegel h: h[−k] is h gespiegeld rond k = 0.
2. Verschuif de gespiegelde h over n.
3. Vermenigvuldig hem monster voor monster met x en tel de producten op. Dat geeft y[n].
4. Herhaal dit voor elke n. Als x L_x monsters heeft en h L_h, heeft y L_x + L_h − 1 monsters, beginnend bij de som van de twee beginindices.

Een snelle controle: de som van alle monsters van y is gelijk aan (Σx)·(Σh).

3Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

4Continue convolutie

Voor signalen in continue tijd wordt de som een integraal:

De methode is dezelfde: spiegel h, schuif hem naar positie t en integreer het product over het deel waar beide signalen niet nul zijn.

Met x(t) = 2 voor 0 ≤ t < 1 s en h(t) = e^−tu(t) is de uitgang terwijl de puls aan staat y(t) = ∫₀ᵗ 2e^{−(t − τ)} dτ = 2(1 − e^−t). Bij t = 1 s bereikt hij 2(1 − e⁻¹) = 1,26, en daarna neemt hij af als 1,26·e^{−(t − 1)}.

• y begint bij de som van de twee starttijden en eindigt bij de som van de twee eindtijden.
• De oppervlakte onder y is de oppervlakte onder x maal de oppervlakte onder h.
• Twee rechthoekige pulsen geven een trapezium; twee gelijke geven een driehoek.

5Impulsresponsies en fourierreeksen

Een eerste-ordesysteem y′ + a·y = b·x heeft de impulsresponsie h(t) = b·e^−atu(t). Zijn discrete tegenhanger y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] heeft h[n] = b·aⁿ voor n ≥ 0.

Een sinusoïde gaat door een LTI-systeem met ongewijzigde frequentie. Hij wordt geschaald met |H(jω)| en verschoven met ∠H(jω), waarbij H de fouriertransformatie van h is. Voor h(t) = b·e^−atu(t) is H(jω) = b/(a + jω).

Een periodiek signaal met periode T is een som van harmonischen bij de frequenties k/T. Enkele standaardamplitudes:

• Blokgolf tussen −A en +A: alleen oneven k, amplitude 4A/(kπ).
• Driehoeksgolf tussen −A en +A: alleen oneven k, amplitude 8A/(π²k²).
• Pulstrein met hoogte A en duty cycle D: gemiddelde A·D, harmonischen (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

6Veelgemaakte fouten

• De twee signalen monster voor monster vermenigvuldigen in plaats van ze te convolueren.
• h schuiven zonder hem te spiegelen; dat geeft de correlatie, niet de convolutie.
• De impulsresponsie en de stapresponsie door elkaar halen: de stapresponsie is de lopende som of integraal van h.
• Harmonischen verkeerd tellen: de component bij k/T is harmonische k.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

• Makkelijk: discrete convolutie. Je bepaalt één uitgangsmonster, het grootste monster, de som van alle monsters, de eerste of laatste index van y, de uitgang van een FIR-filter, of de respons op een stap.
• Gemiddeld: continue convolutie. Je bepaalt y(t) op een gegeven tijdstip voor twee pulsen, een exponentiële functie met een stap of een puls, of twee exponentiële functies, en de oppervlakte, het begin, het einde of de duur van y.
• Moeilijk: impulsresponsies en fourierreeksen. Je bepaalt h(t) van een eerste-orde-DV, h[n] of de stapresponsie van een recursie, de versterking of fase voor een sinusoïde, of een harmonische van een blok-, driehoeks- of pulsgolf.