Superpositie: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: superpositiebeginsel · superpositiestelling

Gratis oefenopgaven over Superpositie met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: 2 spanningsbronnen, spannings- + stroombron, 3 bronnen.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
R1​ = 8 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​8 V

Gebruik superpositie om de stroom IR1 door R1 in de richting van de pijl te vinden.

V1 = 15 VV2 = 8 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
A
Volgende opgave →
Oefen Superpositie gratisOefen nu SuperpositieElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijk2 spanningsbronnen
  2. Gemiddeldspannings- + stroombron
  3. Moeilijk3 bronnen

Zo los je opgaven over Superpositie op

  1. Tel de onafhankelijke bronnen. Je lost per bron één eenvoudigere schakeling op.
  2. Houd één bron aan en schakel de andere uit: een spanningsbron wordt een kortsluiting (een draad), een stroombron wordt een open keten (een onderbreking).
  3. Los de eenvoudigere schakeling op voor de spanning of stroom die je nodig hebt, en houd de richting bij.
  4. Herhaal dit voor elke bron en tel daarna de bijdragen met hun tekens op.

Veelgemaakte fouten

  • Een spanningsbron weghalen in plaats van vervangen door een draad.
  • Bijdragen optellen zonder hun richting te controleren.
  • Superpositie gebruiken voor vermogen: vermogen is niet lineair, dus bereken eerst de totale stroom en dan het vermogen.

Belangrijke formules

Superpositie
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Uitgeschakelde spanningsbron
kortsluiting (0 V)
Uitgeschakelde stroombron
open klemmen (0 A)
Spanningsdeler
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Stroomdeler
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Leer Superpositie vanaf nul

Hiervoor: Serie- en parallelweerstanden

1Wat superpositie is

Veel schakelingen hebben meer dan één bron: twee batterijen, of een batterij en een stroombron.

Alles tegelijk oplossen kan lastig zijn. Met superpositie splits je het probleem in eenvoudigere stukken.

Het idee: elke bron duwt zijn eigen stroom door de schakeling. De werkelijke stroom in een weerstand is de som van wat elke bron afzonderlijk veroorzaakt.

Denk aan twee kranen die hetzelfde bad vullen. Het waterpeil stijgt met wat de eerste kraan toevoegt plus wat de tweede kraan toevoegt.

Zelftoets Wat kun je met superpositie doen?
  1. Alle bronnen negeren behalve de grootste
  2. Alle weerstanden vervangen door één weerstand
  3. De effecten van de bronnen met elkaar vermenigvuldigen
  4. De schakeling één keer per bron oplossen en de resultaten optellen

Antwoord: De schakeling één keer per bron oplossen en de resultaten optellen. Je bekijkt één bron tegelijk, bepaalt wat die veroorzaakt en telt aan het eind alle bijdragen op.

2Een bron uitzetten

Om één bron afzonderlijk te bekijken, zet je de andere bronnen uit. Uitzetten betekent dat je de bron op nul zet.

  • Een spanningsbron die op 0 V staat, wordt een gewone draad (een kortsluiting).
  • Een stroombron die op 0 A staat, wordt een onderbreking (een open circuit).
+−0 V0 A

Alleen de bronnen worden uitgezet. Elke weerstand blijft precies waar hij zit.

Dit werkt voor schakelingen met weerstanden en onafhankelijke bronnen. Zulke schakelingen heten lineair: als je een bron verdubbelt, verdubbelt alles wat die veroorzaakt.

Zelftoets Hoe zet je een stroombron uit?
  1. Haal de weerstand ernaast weg
  2. Vervang hem door een kortsluiting (een draad)
  3. Vervang hem door een open circuit (een onderbreking)
  4. Vervang hem door een weerstand van 1 Ω

Antwoord: Vervang hem door een open circuit (een onderbreking). Een uitgezette stroombron voert 0 A. Een onderbreking is het enige dat geen stroom doorlaat, welke spanning er ook staat.

3Het gereedschap dat je nodig hebt

Elke eenvoudigere schakeling heeft maar één bron, dus je kunt hem oplossen met serie- en parallelschakelingen van weerstanden.

Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)

De spanningsdeler gebruik je het vaakst. Twee weerstanden in serie verdelen de bronspanning in verhouding tot hun grootte:

V2 = V · R2 / (R1 + R2)

Met de wet van Ohm, I = V/R, vind je daarna de stroom in elke weerstand zodra je de spanning erover kent.

Zelftoets Een bron van 12 V voedt 6 Ω en 2 Ω in serie. Wat is de spanning over de weerstand van 2 Ω?
  1. 3 V
  2. 4 V
  3. 6 V
  4. 9 V

Antwoord: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V. De kleinere weerstand krijgt het kleinere deel van de spanning.

4De methode stap voor stap

  1. Tel de onafhankelijke bronnen. Voor elk daarvan los je één eenvoudigere schakeling op.
  2. Houd één bron aan en zet alle andere uit: spanningsbronnen worden draden, stroombronnen worden onderbrekingen.
  3. Los de eenvoudigere schakeling op voor de grootheid die je zoekt. Houd dezelfde richting (of dezelfde + en −) aan als in de vraag.
  4. Herhaal dit voor elke bron.
  5. Tel alle bijdragen op met hun tekens. Een bijdrage in tegengestelde richting telt negatief.

Teken elke eenvoudigere schakeling voordat je gaat rekenen. De meeste fouten ontstaan doordat je naar de oorspronkelijke tekening kijkt terwijl je een andere schakeling oplost.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Bepaal de stroom I3 door R3 (naar beneden) in deze schakeling.

1

Bekijk de schakeling

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V+−V2​6 V

Er zijn twee bronnen, V1 = 12 V en V2 = 6 V. We lossen dus twee eenvoudigere schakelingen op.

2

Alleen V₁ aan

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V0 V

Vervang V2 door een draad. Nu loopt R2 van knooppunt A rechtstreeks naar de onderste draad, dus R2 en R3 staan parallel.

R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3

Spanningsdeler voor V₁

V1 ziet R1 = 6 Ω in serie met het parallelle paar van 2 Ω. De spanning in A is het aandeel van het 2 Ω-deel:

VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4

Alleen V₂ aan

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A0 V+−V2​6 V

Vervang nu V1 door een draad. R1 en R3 staan parallel: 6·3/(6 + 3) = 2 Ω.

VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1,5 V
I3″ = 1,5 V / 3 Ω = 0,5 A
5

Tel de bijdragen op

Beide bijdragen lopen naar beneden door R3, dus beide zijn positief.

I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0,5 = 1,5 A
6

Controleer het antwoord

Met beide bronnen aan is VA = 3 + 1,5 = 4,5 V. De stromen naar A vanaf beide kanten zijn (12 − 4,5)/6 = 1,25 A en (6 − 4,5)/6 = 0,25 A.

Samen is dat 1,5 A, precies de stroom die door R3 wegloopt. Het antwoord klopt.

Antwoord

I3 = 1,5 A, naar beneden stromend.

6Veelgemaakte fouten

  • Een spanningsbron weghalen en een onderbreking achterlaten. Een uitgezette spanningsbron is een draad.
  • Bijdragen optellen zonder hun richtingen te controleren. Teken voor elke bijdrage een pijl.
  • Het vermogen berekenen met superpositie. Vermogen is niet lineair: bepaal eerst de totale stroom en dan P = I²·R.
  • Een bron vergeten. Bij drie bronnen heb je drie eenvoudigere schakelingen nodig.
Zelftoets In het voorbeeld zijn I₃′ = 1 A en I₃″ = 0,5 A in een weerstand van 3 Ω. Welk vermogen neemt R₃ op?
  1. 2,25 W
  2. 3,75 W
  3. 4,5 W
  4. 6,75 W

Antwoord: 6,75 W. Tel eerst de stromen op: 1,5 A. Dan is P = 1,5² · 3 = 6,75 W. De twee afzonderlijke vermogens optellen (3 + 0,75 = 3,75 W) is fout, omdat vermogen niet lineair is.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: twee spanningsbronnen en drie weerstanden. Elke eenvoudigere schakeling is een spanningsdeler.
  • Gemiddeld: een spanningsbron en een stroombron. Onthoud dat de uitgezette stroombron een onderbreking wordt.
  • Moeilijk: drie bronnen, en het doel kan een knooppuntspanning of een takstroom zijn.

Sommige vragen geven alleen metingen. Bijvoorbeeld: met beide bronnen aan is de stroom 6,5 mA, en met V2 uit is hij 4,5 mA. Dan veroorzaakt V2 alleen 2 mA.

Omdat de schakeling lineair is, verdubbelt een verdubbeling van V1 zijn bijdrage. Gebruik dit om de stroom te voorspellen nadat een bron verandert.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 Ω+−VR3​A+−V2​18 V

Gebruik superpositie om de spanning VR3 over R3 met de aangegeven polariteit te vinden.

V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω

Gevraagd: VR3 (V)

Hints tonen
  1. Deze schakeling heeft 2 onafhankelijke bronnen, dus los 2 eenvoudigere schakelingen op, één per bron. Zet de andere uit: een spanningsbron wordt een kortsluiting, een stroombron wordt een open circuit.
  2. Met alleen V₁ actief staan R₂ en R₃ parallel. Gebruik een spanningsdeler om de spanning in knooppunt A te vinden.
  3. Met alleen V1 actief is VR3′ = 2,634 V. Vind de andere bijdrage op dezelfde manier en tel ze op.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.

R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 ΩAKORTSLUITING

Geval 1 · alleen V1

V₂ wordt een kortsluiting, dus R₂ loopt nu van A naar massa, parallel aan R₃.

R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1,714/(10+1,714) = 2,634 V
VR3′ = VA − 0 = 2,634 − 0 = 2,634 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 ΩKORTSLUITINGR3​2 ΩA+−V2​18 V

Geval 2 · alleen V2

V₁ wordt een kortsluiting, dus R₁ loopt nu van A naar massa, parallel aan R₃.

R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1,667/(12+1,667) = 2,195 V
VR3″ = VA − 0 = 2,195 − 0 = 2,195 V

Tel de bijdragen op

VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2,634 + 2,195 = 4,829 V

Een negatief resultaat betekent dat in werkelijkheid de polariteit tegengesteld is aan de aangegeven.

Voorbeeld 2Gemiddeld
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩIR4​BIs​2 A

Gebruik superpositie om het vermogen PR4 te vinden dat R4 opneemt.

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω

Gevraagd: PR4 (W)

Hints tonen
  1. Deze schakeling heeft 2 onafhankelijke bronnen, dus los 2 eenvoudigere schakelingen op, één per bron. Zet de andere uit: een spanningsbron wordt een kortsluiting, een stroombron wordt een open circuit.
  2. Vind de stroom IR4 door R4 met superpositie en kwadrateer die dan: P = I²R.
  3. Met alleen V1 actief is IR4′ = 0,07059 A.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBOPEN

Geval 1 · alleen V1

Iₛ wordt een open circuit, dus R₃ en R₄ vormen één serietak van A naar massa, parallel aan R₂.

R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
VA = 6·4,615/(15+4,615) = 1,412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,412·12/20 = 0,8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0,8471 − 0)/12 = 0,07059 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 ΩKORTSLUITINGR2​6 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

Geval 2 · alleen Is

V₁ wordt een kortsluiting, dus R₁ staat parallel aan R₂. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ en het pad via R₃.

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12,29 = 6,071 Ω
VB = Is·Req = 2·6,071 = 12,14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12,14·4,286/12,29 = 4,235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12,14 − 0)/12 = 1,012 A

Tel de stroombijdragen op

IR4 = IR4′ + IR4″ = 0,07059 + 1,012 = 1,082 A

Vermogen in de weerstand

Vermogen hangt af van het kwadraat van de stroom, dus het voldoet niet aan superpositie: tel eerst de stromen op en kwadrateer dan.

PR4 = IR4²·R4 = 1,082²·12 = 14,06 W

Antwoord

PR4 = 14,06 W

De vermogens van de afzonderlijke gevallen optellen zou 12,34 W geven, en dat is fout.

Voorbeeld 3Moeilijk
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 Ω+−VR2​R4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAIs​1 AB+−V2​15 V

Gebruik superpositie om de spanning VR2 over R2 met de aangegeven polariteit te vinden.

V1 = 12 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 Ω

Gevraagd: VR2 (V)

Hints tonen
  1. Deze schakeling heeft 3 onafhankelijke bronnen, dus los 3 eenvoudigere schakelingen op, één per bron. Zet de andere uit: een spanningsbron wordt een kortsluiting, een stroombron wordt een open circuit.
  2. Begin met alleen V₁: sluit V₂ kort, maak Iₛ open. Gezien vanuit A staat R₃ parallel aan R₂+R₄.
  3. Met alleen V1 actief is VR2′ = 0,6379 V. Vind de andere bijdragen op dezelfde manier en tel ze op.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.

R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAOPENBKORTSLUITING

Geval 1 · alleen V1

V₂ wordt een kortsluiting en Iₛ een open circuit. Gezien vanuit A staat R₃ parallel aan het seriepaar R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6,27 Ω
VA = 12·6,27/(10+6,27) = 4,625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,625·25/29 = 3,987 V
VR2′ = VA − VB = 4,625 − 3,987 = 0,6379 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩKORTSLUITINGR3​8 ΩAIs​1 ABKORTSLUITING

Geval 2 · alleen Is

Beide spanningsbronnen worden kortsluitingen. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ (nu naar massa) en R₂ in serie met R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, dus het linkerpad is R2+4,444 = 8,444 Ω
Req = R4 ∥ 8,444 = 6,312 Ω
VB = Is·Req = 1·6,312 = 6,312 V
VA = VB·4,444/8,444 = 3,322 V
VR2″ = VA − VB = 3,322 − 6,312 = −2,99 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩKORTSLUITINGR3​8 ΩAOPENB+−V2​15 V

Geval 3 · alleen V2

V₁ wordt een kortsluiting en Iₛ een open circuit. R₁ ∥ R₃ hangt aan A, in serie met R₂ terug naar B.

R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8,444/33,44 = 3,787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,787·4,444/8,444 = 1,993 V
VR2‴ = VA − VB = 1,993 − 3,787 = −1,794 V

Tel de bijdragen op

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0,6379 + (−2,99) + (−1,794) = −4,146 V

Een negatief resultaat betekent dat in werkelijkheid de polariteit tegengesteld is aan de aangegeven.

Vragen en antwoorden

Superpositie: wat is het?

Veel schakelingen hebben meer dan één bron: twee batterijen, of een batterij en een stroombron.

Alles tegelijk oplossen kan lastig zijn. Met superpositie splits je het probleem in eenvoudigere stukken.

Superpositie: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Tel de onafhankelijke bronnen. Je lost per bron één eenvoudigere schakeling op.
  2. Houd één bron aan en schakel de andere uit: een spanningsbron wordt een kortsluiting (een draad), een stroombron wordt een open keten (een onderbreking).
  3. Los de eenvoudigere schakeling op voor de spanning of stroom die je nodig hebt, en houd de richting bij.
  4. Herhaal dit voor elke bron en tel daarna de bijdragen met hun tekens op.
Superpositie: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Een spanningsbron weghalen in plaats van vervangen door een draad.
  • Bijdragen optellen zonder hun richting te controleren.
  • Superpositie gebruiken voor vermogen: vermogen is niet lineair, dus bereken eerst de totale stroom en dan het vermogen.
Superpositie: wat oefen je?
  • Makkelijk: 2 spanningsbronnen
  • Gemiddeld: spannings- + stroombron
  • Moeilijk: 3 bronnen

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Serie- en parallelweerstanden

Vakken met dit onderwerp

Netwerkanalyse 1Oefenen voor het FE Electrical and Computer-examen

Meer onderwerpen in Elektrotechniek

Serie- en parallelweerstandenThévenin en NortonKnooppuntmethodeMaasmethodeRC- en RL-schakelverschijnselenWisselstroomimpedantie en fasorenWisselstroomvermogen en arbeidsfactorLC-resonantie, Q-factor en bandbreedteDraaistroomvermogenTransformatorenGelijkstroommotorenOpampschakelingenDiodes en transistorenDC-DC-omzettersDigitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsBrug van Wheatstone en rekstrookjesData-acquisitie en bemonsteringLaplacetransformatiesBlokschema’sStapresponsieBodediagrammen en margesStabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaanStationaire fout en PID-regelingConvolutie en LTI-systemen

Printbaar werkblad

Werkblad Superpositie met antwoorden
Oefen Superpositie gratisOefen nu SuperpositieElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.