Stabiliteitscriterium van Routh–Hurwitz berekenen
Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.
Resultaat
| kolom 1 | kolom 2 | kolom 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
Controleer de stabiliteit van een lineair systeem uit zijn karakteristieke veelterm. De calculator bouwt het Routh-schema met exacte breuken, verwerkt een nul in de eerste kolom (de ε-methode) en een rij met nullen (de hulpveelterm), telt de tekenwisselingen en geeft het aantal nulpunten in het rechter halfvlak, op de imaginaire as en in het linker halfvlak.
Stapsgewijze oplossing
Karakteristiek polynoom
Eerste twee rijen
Volgende rijen
Tel de tekenwisselingen in de eerste kolom
Belangrijke formules
- Stabiliteit
- alle wortels van het karakteristieke polynoom in het linkerhalfvlak
- Routh-tabel, s¹-element van een derdegraadspolynoom
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- Wortels in het rechterhalfvlak
- aantal tekenwisselingen in de eerste kolom
- Derdegraadspolynoom s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- stabiel als alle a > 0 en a₂·a₁ > a₀
- Karakteristieke vergelijking
- 1 + K·G(s) = 0
Hoe gebruik je het criterium van Routh–Hurwitz
- Schrijf de karakteristieke veelterm met alle machten van s van de hoogste naar beneden. Als een coëfficiënt ontbreekt of de tekens verschillen, kan het systeem niet stabiel zijn.
- Vul de eerste rij met de 1e, 3e, 5e, … coëfficiënten en de tweede rij met de 2e, 4e, 6e, ….
- Elk volgend element is (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, met de twee rijen erboven.
- Als een eerste element nul is maar de rij niet, vervang het dan door een kleine ε > 0. Als een hele rij nul is, vervang haar dan door de afgeleide van de hulpveelterm die uit de rij erboven wordt gevormd.
- Het aantal tekenwisselingen in de eerste kolom is gelijk aan het aantal nulpunten in het rechter halfvlak.
Vragen en antwoorden
Wat betekent een rij met nullen?
De veelterm heeft nulpunten die symmetrisch liggen om de oorsprong: paren ±a, ±jω, of viertallen. De hulpveelterm uit de rij erboven bevat precies die nulpunten, en zijn nulpunten op de imaginaire as maken het systeem hooguit marginaal stabiel.
Is de ε-methode altijd betrouwbaar?
Niet als nulpunten op de imaginaire as liggen. De calculator splitst daarom ook de gemeenschappelijke factor van P(s) en P(−s) af, die alle symmetrische nulpunten bevat, en telt de nulpunten ervan op de imaginaire as exact. Als dat het aantal verandert, vermelden de stappen dat.
Hoe vind ik het bereik van K voor stabiliteit?
Zet de versterking K in de coëfficiënten, bouw het schema symbolisch op en eis dat elk element van de eerste kolom positief is. Deze calculator werkt met getallen, dus je kunt hem gebruiken om een waarde van K aan beide kanten van de gevonden grens te controleren.
Betekent een stabiel Routh-schema een goed ontwerp?
Het zegt alleen dat alle polen in het linker halfvlak liggen. Hoe snel en hoe goed gedempt de respons is, hangt af van waar de polen liggen; gebruik daarvoor de wortelbaan of een Bodediagram.
Oefen het zelf
Oefen Stabiliteit: Routh–Hurwitz en wortelbaan
Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.