Talstelsels: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

1Wat een talstelsel is

In het dagelijks leven tel je decimaal, grondtal 10. Dat heeft tien cijfers, 0 tot 9, en elke plaats is tien keer zoveel waard als de plaats rechts ervan.

In 352 is de 3 driehonderd waard, de 5 vijftig en de 2 twee. De plaatsen zijn, van rechts, 1, 10, 100 waard.

Een computer slaat alles op als schakelaars die aan of uit staan. Daarom telt hij binair, grondtal 2, met alleen de cijfers 0 en 1.

Eén binair cijfer is een bit. Een groep van 8 bits is een byte.

De regel is in elk talstelsel hetzelfde: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard.

2Binair en hexadecimaal

In het binaire stelsel zijn de plaatsen, van rechts, 1, 2, 4, 8, 16 enzovoort waard. Elke plaats is twee keer zoveel waard als de plaats rechts ervan.

Bij een getal van 8 bits zijn de plaatsen 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 en 1 waard.

Om een binair getal te lezen, tel je de plaatswaarden op van elke bit die 1 is. Voor 0011 0010 is dat 32 + 16 + 2 = 50.

Lange rijen bits zijn moeilijk te lezen. Programmeurs schrijven ze vaak in plaats daarvan hexadecimaal (hex), grondtal 16.

Hex heeft 16 cijfers nodig. Het gebruikt 0 tot 9 en daarna de letters A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 en F = 15.

Hexplaatsen zijn, van rechts, 1, 16, 256 en 4096 waard. Een hexgetal wordt vaak geschreven met 0x ervoor, bijvoorbeeld 0x2F.

Eén hexcijfer is precies 4 bits, dus 0011 0010 is 0x32: 0011 is 3 en 0010 is 2.

3Negatieve getallen: twee-complement

Een byte waarin alle plaatsen positief zijn, slaat 0 tot 255 op. Dit heet zonder teken (unsigned).

Om negatieve getallen op te slaan, gebruiken computers het twee-complement. De enige verandering is dat de meest linkse bit −128 waard is in plaats van +128.

Dus 1000 0011 is −128 + 2 + 1 = −125. De meest linkse bit heet de tekenbit: als die 1 is, is het getal negatief.

Een twee-complementgetal van 8 bits loopt van −128 (1000 0000) tot +127 (0111 1111).

Om een negatief getal −x te schrijven, begin je met +x in binair, keer je elke bit om (0 wordt 1, 1 wordt 0) en tel je 1 op.

Voorbeeld voor −5: 5 is 0000 0101. Omgekeerd is dat 1111 1010. Er 1 bij optellen geeft 1111 1011.

Hetzelfde patroon als getal zonder teken gelezen heeft de waarde 256 − x. Voor −5 is dat 251, en 1111 1011 is inderdaad 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 251.

4De methode stap voor stap

Binair of hex naar decimaal:

1. Schrijf de plaatswaarde onder elk cijfer: machten van 2 voor binair, machten van 16 voor hex, beginnend met 1 rechts.
2. Vervang bij hex elke letter door zijn waarde: A = 10 tot en met F = 15.
3. Vermenigvuldig elk cijfer met zijn plaatswaarde en tel alles op.

Twee-complement:

1. Om een patroon te lezen, geef je de meest linkse bit de waarde −128 (bij 8 bits) en tel je de plaatswaarden van alle 1-bits op.
2. Om −x te schrijven, schrijf je +x in 8 bits, keer je elke bit om en tel je 1 op.
3. De waarde van dat patroon zonder teken is 256 − x. Gebruik dat om je bits te controleren.

Bits, bereiken en geheugen:

1. n bits geven 2ⁿ verschillende patronen.
2. Zonder teken slaan ze 0 tot 2ⁿ − 1 op. In twee-complement slaan ze −2ⁿ⁻¹ tot 2ⁿ⁻¹ − 1 op.
3. Om k items een eigen code te geven, zoek je de kleinste b met 2^b ≥ k.
4. Voor geheugen vermenigvuldig je het aantal items met de bits per item, en deel je dan door 8 voor bytes en door 1024 voor KiB.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

6Veelgemaakte fouten

• Vergeten 1 op te tellen na het omkeren van de bits. Je komt er één te laag uit.
• Een twee-complementpatroon lezen als getal zonder teken, bijvoorbeeld 1111 1111 als 255 in plaats van −1.
• De tekenbit behandelen als een minteken voor de andere bits. In twee-complement is hij −128 waard.
• De plaatsen in de verkeerde volgorde geven. De plaats die 1 waard is, staat altijd rechts.
• A = 11 gebruiken in hex. De letters beginnen bij A = 10.
• Bits en bytes door elkaar halen bij geheugenvragen. Deel het aantal bits door 8.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

• Makkelijk: binair en hex naar decimaal. Reken een binair getal van 8 bits of een hexgetal van 3 cijfers om naar decimaal.
• Gemiddeld: twee-complement. Lees de waarde van een 8-bitspatroon met teken, of schrijf een negatief getal als patroon en geef zijn waarde zonder teken.
• Moeilijk: bits, bereiken en geheugen. De grootste of meest negatieve waarde die in n bits past, het aantal bits dat nodig is voor k codes, of het geheugen dat een afbeelding inneemt.

Voorbeeld van een moeilijke vraag: een afbeelding van 256 × 256 met 24 bits per pixel neemt 256 · 256 · 24 / 8 / 1024 = 192 KiB in.