Differentiaalvergelijkingen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: differentiaalvergelijkingen oplossen
Gratis oefenopgaven over Differentiaalvergelijkingen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: exponentiële groei en afname, Afkoelingswet van Newton, eerste orde lineair.
Leer Differentiaalvergelijkingen vanaf nul
Hiervoor: Afgeleiden, Integralen
1Wat een differentiaalvergelijking is
Een differentiaalvergelijking koppelt een grootheid aan haar eigen veranderingssnelheid. Ze beschrijft hoe iets verandert, niet wat het is.
Bacteriën delen zich, dus een grotere kolonie groeit sneller. De groeisnelheid is evenredig met het aantal cellen N:
dN/dt = k · N
Hier is dN/dt de afgeleide van N naar de tijd t, en k is de snelheidsconstante. Met k = 0,4 h⁻¹ en N = 1000 cellen groeit de kolonie op dat moment met 400 cellen per uur.
De vergelijking oplossen betekent de functie N(t) zelf vinden. Je hebt ook een beginwaarde nodig, zoals N(0) = 200. Dit heet een randvoorwaarde (beginvoorwaarde).
Zelftoets Een populatie volgt dN/dt = 0,2 · N. Op dit moment is N = 500. Hoe snel groeit ze?
- 0,2 per uur
- 100 per uur
- 2500 per uur
- 500 per uur
Antwoord: 100 per uur. Vul de getallen in de vergelijking in: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. 500 delen door 0,2 geeft 2500, wat k omgekeerd gebruikt.
2Exponentiële groei en afname
De vergelijking dy/dt = k·y heeft altijd dezelfde oplossing, een exponentiële functie:
y(t) = y0 · ekt
Hier is y0 de waarde bij t = 0. Een positieve k betekent groei. Voor afname is de vergelijking dy/dt = −k·y en de oplossing y = y0e−kt.
Radioactief verval wordt vaak gegeven met zijn halfwaardetijd t½: de tijd waarna de helft van de stof over is. De snelheidsconstante volgt daaruit:
k = ln 2 / t½
Neem de natuurlijke logaritme van beide kanten om een tijd te vinden:
t = ln(y / y0) / k
Bijvoorbeeld: 200 cellen die groeien met k = 0,4 h⁻¹ bereiken 1000 cellen na t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.
Zelftoets Een stof heeft een halfwaardetijd van 10 dagen. Je begint met 80 mg. Hoeveel is er na 20 dagen over?
- 0 mg
- 20 mg
- 40 mg
- 60 mg
Antwoord: 20 mg. 20 dagen zijn twee halfwaardetijden: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg komt van denken dat twee helften het geheel vormen; de hoeveelheid halveert elke keer.
3Afkoeling en lineaire vergelijkingen
De afkoelingswet van Newton: een heet voorwerp koelt sneller af als het veel heter is dan de kamer. Met de kamertemperatuur Ta:
dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt
Het verschil T − Ta neemt exponentieel af, dus de temperatuur nadert de kamertemperatuur en komt er nooit onder.
Om k uit één meting te vinden, vul je de bekende waarden in en neem je ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.
Een lineaire vergelijking van de eerste orde heeft de vorm y′ + p(x)·y = q(x). Vermenigvuldig haar met de integrerende factor μ:
μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q
Integreer dan beide kanten en deel door μ. Voor p = 2/x is μ = e2 ln x = x².
Zelftoets Thee van 90 °C blijft in een kamer van 20 °C staan. Welke temperatuur nadert ze na zeer lange tijd?
- 0 °C
- 20 °C
- 55 °C
- 90 °C
Antwoord: 20 °C. De term (T0 − Ta)e−kt gaat naar 0, dus T nadert Ta = 20 °C. 0 °C zou het antwoord zijn als je de kamertemperatuur vergat.
4De methode stap voor stap
- Herken het type: dy/dt = ky (groei of afname), de afkoeling van Newton, of y′ + p(x)y = q(x).
- Schrijf de standaardoplossing voor dat type op.
- Gebruik de gegeven data om de constanten te vinden: y0 uit het begin, k uit een halfwaardetijd of een tweede meting.
- Beantwoord de vraag: vul een tijd in om een waarde te vinden, of gebruik ln om een tijd te vinden.
- Controleer de eenheden van k (h⁻¹, min⁻¹) aan de eenheden van t.
Voor een lineaire vergelijking: bepaal μ, integreer (μy)′ = μq, voeg de constante C toe en gebruik dan de beginvoorwaarde om C te vinden.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeldEen radioactieve tracer heeft een halfwaardetijd van 8 dagen. Een monster bevat aan het begin 60 mg. Het verval volgt dm/dt = −k·m. Hoeveel m blijft er na 12 dagen over?
1Dit is exponentiële afname, dus de oplossing is:
m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 dag⁻¹
3k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
412 dagen zijn 1,5 halfwaardetijden. Na 8 dagen is 30 mg over en na 16 dagen 15 mg, dus 21,2 mg ligt daartussen, zoals verwacht.
60 · 0,51,5 = 21,21 mg
Antwoord m ≈ 21,2 mg blijft over na 12 dagen.
6Veelgemaakte fouten
- Bij de afkoelingswet van Newton vergeten de kamertemperatuur Ta af te trekken en weer op te tellen.
- Een positieve exponent gebruiken voor afname, zodat de hoeveelheid groeit in plaats van krimpt.
- log10 gebruiken in plaats van de natuurlijke logaritme ln.
- Tijdseenheden door elkaar halen, zoals k in min⁻¹ met t in uren.
- Bij een integrerende factor alleen het linkerlid met μ vermenigvuldigen.
Zelftoets Een onderdeel van 80 °C koelt af in een kamer van 20 °C. Op een bepaald tijdstip t is e−kt = 0,5. Wat is dan zijn temperatuur?
- 30 °C
- 40 °C
- 50 °C
- 60 °C
Antwoord: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. 80 rechtstreeks halveren geeft 40 °C, wat de kamertemperatuur vergeet.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
- Makkelijk: exponentiële groei en afname. Bepaal de hoeveelheid na een tijd, of de tijd om een hoeveelheid te bereiken, vaak uit een halfwaardetijd.
- Gemiddeld: de afkoelingswet van Newton. Gebruik één meting om k te vinden en bepaal dan een temperatuur of een tijd.
- Moeilijk: een lineaire vergelijking van de eerste orde zoals y′ + 2y/x = 3 met y(1) = 1. Gebruik de integrerende factor en bepaal y bij een andere x.
Een snelle controle: antwoorden bij afname en afkoeling moeten tussen de beginwaarde en de eindwaarde liggen (0, of de kamertemperatuur).
Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app