Eigenwaarden en eigenvectoren berekenen
Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.
Resultaat
| Eigenwaarde | Multipliciteit | Eigenvector | Eenheidseigenvector |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0,8944, 0, 0,4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0,5774, 0,5774, −0,5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0,7071, 0, −0,7071) |
Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van een 2×2- of 3×3-matrix. De calculator ontwikkelt det(A − λI) tot het karakteristieke polynoom, lost dat op voor reële of complexe eigenwaarden met hun multipliciteit, en vindt de eigenvectoren van elke reële eigenwaarde door (A − λI)v = 0 op te lossen. Elke eigenvector wordt gecontroleerd door A·v te berekenen, en bij herhaalde eigenwaarden toont hij of de matrix diagonaliseerbaar is.
Stapsgewijze oplossing
Karakteristieke vergelijking det(A − λI) = 0
Eigenwaarden
Eigenvector (λ = 5)
Eigenvector (λ = 3)
Eigenvector (λ = 2)
Belangrijke formules
- Eigenwaarden
- det(A − λI) = 0
Hoe vind je eigenwaarden en eigenvectoren
- Trek λ af van elk diagonaalelement van A om A − λI te krijgen.
- Stel de determinant gelijk aan nul: det(A − λI) = 0. Voor een 2×2-matrix is dit λ² − (tr A)λ + det A = 0; voor een 3×3-matrix is het een derdegraadsvergelijking.
- Los de karakteristieke vergelijking op. Controle: de eigenwaarden tellen op tot het spoor en vermenigvuldigen tot de determinant.
- Los voor elke eigenwaarde (A − λI)v = 0 op met rijreductie. De oplossingen vormen een lijn (of een vlak); elke vector ongelijk aan nul daarin is een eigenvector.
- Controleer elke eigenvector: A·v moet gelijk zijn aan λ·v.
Vragen en antwoorden
Hoe voer ik de matrix in?
Typ de rijen gescheiden door puntkomma’s en de getallen in elke rij gescheiden door spaties, bijvoorbeeld 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 voor een 3×3-matrix. Decimalen en negatieve getallen zijn toegestaan.
Waarom kan een matrix complexe eigenwaarden hebben?
Het karakteristieke polynoom kan complexe nulpunten hebben, en bij een reële matrix komen die altijd voor in toegevoegde paren. De rotatiematrix 0 -1; 1 0 heeft de eigenwaarden ±i, omdat geen enkele reële vector bij een rotatie dezelfde richting houdt.
Wat betekent een herhaalde eigenwaarde?
Een nulpunt van het karakteristieke polynoom met multipliciteit 2 of 3. De matrix kan evenveel onafhankelijke eigenvectoren hebben, zoals de eenheidsmatrix, of minder. Met minder is hij defect en niet diagonaliseerbaar.
Is de eigenvector uniek?
Nee. Elk veelvoud ongelijk aan nul van een eigenvector is ook een eigenvector. De calculator toont een eenvoudige vorm, waar mogelijk met gehele getallen, en de eenheidsvector met lengte 1.
Waarvoor worden eigenwaarden gebruikt?
Ze geven de eigenfrequenties van trillende systemen, de hoofdspanningen van een spanningstensor, de stabiliteit van stelsels differentiaalvergelijkingen en de hoofdrichtingen bij principale componentenanalyse.
Oefen het zelf
Oefen Matrices & determinanten
Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.