Poissonverdeling berekenen
Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.
Resultaat
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,01832 | 0,01832 |
| 1 | 0,07326 | 0,09158 |
| 2 | 0,1465 | 0,2381 |
| 3 | 0,1954 | 0,4335 |
| 4 | 0,1954 | 0,6288 |
| 5 | 0,1563 | 0,7851 |
| 6 | 0,1042 | 0,8893 |
| 7 | 0,05954 | 0,9489 |
| 8 | 0,02977 | 0,9786 |
| 9 | 0,01323 | 0,9919 |
| 10 | 0,005292 | 0,9972 |
| 11 | 0,001925 | 0,9991 |
| 12 | 0,0006415 | 0,9997 |
Bepaal Poissonkansen voor het aantal gebeurtenissen in een vast interval, zoals telefoontjes per uur, defecten per meter of aankomsten per minuut. Voer de gemiddelde intensiteit λ en een aantal x in voor de kans op precies x gebeurtenissen, hooguit x, minstens x, minder dan x of meer dan x. De stappen tonen de formule e^(−λ)·λˣ/x! voor elke term en gebruiken het complement waar dat korter is.
Stapsgewijze oplossing
Poisson-kansformule
Gebruik het complement (minder termen)
Gemiddelde en variantie
Belangrijke formules
- Complement
- P(not A) = 1 − P(A)
Hoe bereken je Poissonkansen
- Bepaal λ, het gemiddelde aantal gebeurtenissen in het interval waar de vraag over gaat. Als de intensiteit 3 per uur is en de vraag over 2 uur gaat, gebruik dan λ = 6.
- Voor precies x gebeurtenissen gebruik je P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x!.
- Voor “hooguit x” tel je de kansen van 0 tot en met x op.
- Voor “minstens x” gebruik je het complement P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1), omdat de som tot oneindig niet kan worden uitgeschreven.
- Controleer je antwoord met het gemiddelde en de variantie: beide zijn gelijk aan λ.
Vragen en antwoorden
Wanneer is een Poissonverdeling van toepassing?
Als gebeurtenissen één voor één, onafhankelijk van elkaar en met een constante gemiddelde intensiteit plaatsvinden, en je telt hoeveel er in een vast interval van tijd, lengte, oppervlakte of volume vallen.
Wat zijn het gemiddelde en de variantie van een Poissonverdeling?
Beide zijn gelijk aan λ, dus de standaardafwijking is √λ. Als de variantie van je gegevens veel groter is dan het gemiddelde, zijn de gebeurtenissen waarschijnlijk geclusterd en past het Poissonmodel slecht.
Mag λ een decimaal getal zijn?
Ja. λ is een gemiddelde, dus waarden zoals 2,5 gebeurtenissen per uur zijn prima. Het aantal gebeurtenissen x moet een geheel getal zijn.
Hoe hangt de Poissonverdeling samen met de binomiale verdeling?
Bij een binomiale verdeling met veel pogingen en een kleine kans op succes geeft de Poissonverdeling met λ = np bijna dezelfde kansen. Een veelgebruikte vuistregel is n ≥ 20 en p ≤ 0,05.
Waarom is P(X ≥ 1) gelijk aan 1 − e^(−λ)?
De enige manier om minder dan één gebeurtenis te hebben is er geen te hebben, en P(X = 0) = e^(−λ). Dus P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ), dat is 0,8647 voor λ = 2.
Oefen het zelf
Oefen Kansrekening
Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.