Stelsel lineaire vergelijkingen oplossen (2×2 en 3×3)
Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.
Resultaat
Los een stelsel van twee of drie lineaire vergelijkingen op. Typ de vergelijkingen zoals je ze zou schrijven, zoals 2x + y − z = 8, of voer de uitgebreide matrix in. De calculator toont elke rijoperatie van de eliminatie van Gauss–Jordan, of de determinanten van de regel van Cramer, werkt met exacte breuken en herkent stelsels zonder oplossing of met oneindig veel oplossingen, die hij met een parameter schrijft.
Stapsgewijze oplossing
Het stelsel
Uitgebreide matrix
Kolom 1 (x): pivot in rij 1
Kolom 2 (y): pivot in rij 2
Kolom 3 (z): pivot in rij 3
Lees de oplossing af
Controleer in de oorspronkelijke vergelijkingen
Belangrijke formules
- 2×2-determinant
- det = ad − bc
- Inverse van een 2×2-matrix
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- Regel van Cramer
- xi = det(Ai)/det(A)
Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met eliminatie
- Schrijf het stelsel als uitgebreide matrix: één rij per vergelijking, de coëfficiënten van x, y en z, en het rechterlid na de streep.
- Kies een pivot in de eerste kolom (een element ongelijk aan nul, bij voorkeur 1) en wissel hem zo nodig naar de eerste rij.
- Deel de pivotrij door de pivot en trek er dan veelvouden van af van de andere rijen om de rest van de kolom nul te maken.
- Herhaal voor de volgende kolom en de volgende rij tot het coëfficiëntendeel in gereduceerde trapvorm staat.
- Lees de oplossing af. Een rij 0 = c met c ≠ 0 betekent dat er geen oplossing is; een kolom zonder pivot betekent een vrije variabele en oneindig veel oplossingen.
- Controleer door de oplossing in de oorspronkelijke vergelijkingen in te vullen.
Vragen en antwoorden
Wanneer moet ik de regel van Cramer gebruiken?
Voor kleine stelsels met een determinant ongelijk aan nul, vooral 2×2. Elke onbekende is een quotiënt van determinanten: x = Dx/D. Voor grotere stelsels, of als D = 0, is eliminatie sneller en vertelt ze je ook of er geen of oneindig veel oplossingen zijn.
Hoe weet ik of een stelsel geen oplossing heeft?
Als eliminatie een rij oplevert met alle coëfficiënten nul maar een rechterlid ongelijk aan nul, zoals 0 = 3. Meetkundig hebben de lijnen of vlakken geen gemeenschappelijk punt, bijvoorbeeld twee evenwijdige lijnen.
Wat betekent oneindig veel oplossingen?
Eén vergelijking is een combinatie van de andere, dus er zijn minder onafhankelijke vergelijkingen dan onbekenden. De oplossingen vormen een lijn of een vlak, geschreven met een parameter t: bijvoorbeeld x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.
Hoe voer ik de vergelijkingen in?
Scheid de vergelijkingen met puntkomma’s en schrijf de coëfficiënt voor elke variabele: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. Breuken zoals 1/2x en decimalen zijn toegestaan, en een variabele mag aan beide kanten staan.
Wat is de rang?
Het aantal pivots na eliminatie, oftewel het aantal onafhankelijke vergelijkingen. Een vierkant stelsel heeft precies een unieke oplossing als de rang gelijk is aan het aantal onbekenden, dat wil zeggen als de determinant ongelijk aan nul is.
Oefen het zelf
Oefen Matrices & determinanten
Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.