Afgeleide berekenen met stappen

Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.

Resultaat

f(x)x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2
f′(x)2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2
f(1)0,509
f′(1)−2,423
Raaklijny = −2,423x + 2,932

Differentieer een functie van x en zie hoe elke regel wordt toegepast. De calculator verwerkt veeltermen, machten en wortels, exponentiële functies, logaritmen, goniometrische en inverse goniometrische functies, en combineert ze met de som-, product-, quotiënt- en kettingregel, waarbij hij het resultaat onderweg vereenvoudigt. Hij kan ook de tweede en derde afgeleide vinden en de afgeleide en de raaklijn in een punt berekenen.

Stapsgewijze oplossing

Lees de functie

f(x) = x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2

Somregel: differentieer term voor term

d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)
d/dx[ln(x)/x] = (1 − ln(x))/x2
d/dx[e−x2] = −2x·e−x2
f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2

Productregel

(uv)′ = u′v + uv′
u = x2, u′ = 2x
v = sin(3x), v′ = 3cos(3x)
d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + x2·(3cos(3x)) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)

Kettingregel

d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
u = 3x, u′ = 3
d/dx[sin(3x)] = cos(3x)·3 = 3cos(3x)

Quotiëntregel

(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
u = ln(x), u′ = 1/x
v = x, v′ = 1
d/dx[ln(x)/x] = ((1/x)·x − ln(x)·1)/x2 = (1 − ln(x))/x2

Kettingregel

d/dx[eu] = eu·u′
u = −x2, u′ = −2x
d/dx[e−x2] = e−x2·(−2x) = −2x·e−x2

Gebruikte afleidingsregels

d/dx[f + g] = f′ + g′
d/dx[c·f] = c·f′
d/dx[xn] = n·xn−1
(uv)′ = u′v + uv′
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
d/dx[ex] = ex
sin(u) → cos(u)
ln(u) → 1/u

Resultaat

f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2

Bereken in het punt

f(1) = 0,509
f′(1) = −2,423
raaklijn: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀) = 0,509 + (−2,423)·(x − 1)

Belangrijke formules

Machtsregel
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel
(uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Een afgeleide stap voor stap vinden

  1. Splits een som in zijn termen en differentieer elke term apart (somregel). Constante factoren blijven voorop staan (regel van het constante veelvoud).
  2. Gebruik voor machten de machtsregel, d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹. Ze werkt ook voor wortels en omgekeerden: √x = x^(1/2) en 1/x² = x⁻².
  3. Gebruik voor een product u·v de productregel (uv)′ = u′v + uv′; voor een quotiënt u/v de quotiëntregel (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
  4. Gebruik voor een functie van een andere functie, zoals sin(3x) of e^(x²), de kettingregel: differentieer de buitenste functie, laat de binnenkant staan en vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenkant.
  5. Vereenvoudig: neem gelijksoortige termen samen en deel gemeenschappelijke factoren tussen teller en noemer weg.

Vragen en antwoorden

Hoe typ ik de functie?

Gebruik ^ voor machten en haakjes voor functieargumenten: x^3 - 2x, sin(3x), e^(2x), ln(x)/x, sqrt(x^2 + 1). Vermenigvuldigingstekens mogen worden weggelaten: 3x^2 sin(x) betekent 3x²·sin(x). Schrijf e^(2x) met haakjes; e^2x wordt gelezen als e²·x.

Welke functies worden ondersteund?

sin, cos, tan, sec, csc, cot, arcsin, arccos, arctan, exp, ln, log (grondtal 10) en sqrt, met elke combinatie van +, −, ·, / en machten, inclusief machten zoals x^x waarbij zowel grondtal als exponent x bevatten.

Wat is het verschil tussen ln en log?

ln is de natuurlijke logaritme, met grondtal e, met d/dx[ln x] = 1/x. In deze calculator betekent log de logaritme met grondtal 10, waarvan de afgeleide 1/(x·ln 10) is.

Hoe vindt de calculator de raaklijn?

Voer een punt x₀ in. De raaklijn is y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀): ze gaat door het punt op de kromme en heeft de afgeleide als helling.

Is het antwoord altijd in de eenvoudigste vorm?

Het resultaat wordt vereenvoudigd door gelijksoortige termen samen te nemen, machten samen te voegen en gemeenschappelijke factoren weg te delen, maar het kan anders zijn geschreven dan in je boek, bijvoorbeeld cos(x)/sin(x) in plaats van cot(x). Beide vormen zijn gelijk.

Oefen het zelf

Afgeleiden: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingenZo los je opgaven over Afgeleiden opWerkblad Afgeleiden met antwoorden

Oefen Afgeleiden

Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.

Oefen Afgeleiden gratisOefen nu AfgeleidenUitgewerkte voorbeelden
</> Insluiten

Gratis voor docenten en scholen: plak deze code in je cursuspagina, LMS of website. Studenten kunnen de rekenmachine en de uitgewerkte oplossing zonder account gebruiken.

Meer calculators

Calculator voor z-score en normale kansenCalculator voor betrouwbaarheidsintervallenCalculator voor steekproefomvangCalculator voor gemiddelde, mediaan en standaardafwijkingCalculator voor lineaire regressieCalculator voor de chikwadraat-aanpassingstoetsCalculator voor determinant en inverse van een matrixNormale verdeling berekenenBinomiale verdeling berekenenPoissonverdeling berekenen