Kwadratische vergelijking oplossen (ax² + bx + c = 0)

Vul je waarden in. Het antwoord en de volledige uitgewerkte oplossing worden bijgewerkt terwijl je typt.

Resultaat

Wortelsx₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁2,5
x₂−1
Discriminant Δ49
Aard van de wortelstwee verschillende reële wortels
Top(0,75, −6,125)
Symmetrieasx = 0,75
Snijpunt met de y-as−5
Parabool opentomhoog (minimum in de top)
Ontbonden vorm(2x − 5)(x + 1)

Los elke kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 op. De calculator berekent de discriminant, gebruikt de abc-formule en geeft de wortels zowel als decimalen als in exacte vorm, als breuken of vereenvoudigde wortels zoals 2 ± √3, inclusief complexe wortels. Hij vindt ook de top, de symmetrieas en de ontbonden vorm, en controleert de wortels met de formules van Vieta.

Stapsgewijze oplossing

Bepaal a, b en c

2x² − 3x − 5 = 0: a = 2, b = −3, c = −5

Discriminant

Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4·2·(−5) = 49
Δ > 0 → twee verschillende reële wortels

Abc-formule

x = (−b ± √Δ)/(2a) = (3 ± √49)/4
exact: x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁ = 2,5, x₂ = −1

Top en symmetrieas

h = −b/(2a) = 3/4 ≈ 0,75
k = c − b²/(4a) = −49/8 ≈ −6,125
topvorm: y = 2(x − 0,75)2 − 6,125

Ontbonden vorm

2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)

Controleer met de formules van Vieta

x₁ + x₂ = −b/a = 1,5
x₁·x₂ = c/a = −2,5

Belangrijke formules

Kwadratische vergelijking met p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Een kwadratische vergelijking oplossen

  1. Schrijf de vergelijking in de standaardvorm ax² + bx + c = 0 en lees a, b en c af, met hun tekens.
  2. Bereken de discriminant Δ = b² − 4ac. Als Δ > 0 zijn er twee reële wortels, als Δ = 0 één dubbele wortel, en als Δ < 0 twee complex geconjugeerde wortels.
  3. Gebruik de abc-formule x = (−b ± √Δ)/(2a). Vereenvoudig de wortel door kwadraten voor de wortel te halen: √12 = 2√3.
  4. Schrijf voor Δ < 0 √Δ = i·√|Δ|, zodat de wortels −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a) zijn.
  5. De top van de parabool y = ax² + bx + c ligt bij x = −b/(2a); vul die in om de y-coördinaat te vinden.
  6. Controle: de wortels tellen op tot −b/a en hebben product c/a.

Vragen en antwoorden

Wanneer kan ik ontbinden in plaats van de formule te gebruiken?

Als de discriminant een perfect kwadraat is en de coëfficiënten gehele getallen zijn, zijn de wortels rationaal en laat de kwadratische vergelijking zich over de gehele getallen ontbinden, zoals 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). Anders is de abc-formule de betrouwbare methode.

Wat betekent een negatieve discriminant?

De parabool snijdt de x-as niet, dus er zijn geen reële wortels. De twee wortels zijn complex geconjugeerd p ± qi, wat bijvoorbeeld belangrijk is bij gedempte trillingen en schakelinganalyse.

Wat is de topvorm?

y = a(x − h)² + k, waarbij (h, k) de top is. Ze toont direct het minimum (a > 0) of maximum (a < 0) van de parabool en wordt gevonden door kwadraat af te splitsen.

Wat als a = 0?

Dan is de vergelijking lineair, bx + c = 0, met de enige oplossing x = −c/b. De abc-formule zou door nul delen, dus de calculator vraagt om een a ongelijk aan nul.

Waarom geeft de calculator exacte wortels?

Tentamens vragen vaak om antwoorden als (3 ± √17)/4 in plaats van decimalen. Als a, b en c gehele getallen of decimalen zijn, werkt de calculator met exacte breuken en vereenvoudigt hij de wortel.

Oefen het zelf

Complexe getallen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingenZo los je opgaven over Complexe getallen opWerkblad Complexe getallen met antwoorden

Oefen Complexe getallen

Een calculator geeft het antwoord. Op het tentamen heb je de methode nodig: oefen die met nieuwe opgaven, hints en uitgewerkte oplossingen.

Oefen Complexe getallen gratisOefen nu Complexe getallenUitgewerkte voorbeelden
</> Insluiten

Gratis voor docenten en scholen: plak deze code in je cursuspagina, LMS of website. Studenten kunnen de rekenmachine en de uitgewerkte oplossing zonder account gebruiken.

Meer calculators

Calculator voor z-score en normale kansenCalculator voor betrouwbaarheidsintervallenCalculator voor steekproefomvangCalculator voor gemiddelde, mediaan en standaardafwijkingCalculator voor lineaire regressieCalculator voor de chikwadraat-aanpassingstoetsCalculator voor determinant en inverse van een matrixNormale verdeling berekenenBinomiale verdeling berekenenPoissonverdeling berekenen