Calculus 1: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Limieten

Direct invullen
probeer eerst x = a; 0/0 betekent vereenvoudigen
Ontbinden en wegdelen
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Geconjugeerde
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limieten naar oneindig
deel door de hoogste macht van x; bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten
Standaardlimiet
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Regel van L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Afgeleiden

Machtsregel
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel
(uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

  1. Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
  2. Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
  3. Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
  4. Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Optimalisatie

Methode
schrijf Q(x) met één variabele, los Q′(x) = 0 op, controleer Q″ of de randpunten
Maximum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Gesloten cilinder
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Winst
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralen

Machtsregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken
∫ab (f − g) dx

Methode

  1. Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
  2. Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
  3. Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
  4. Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

2Oefenopgaven

1.LimietenGemiddeld
xyy = L

Bereken de limiet L = limx→∞ (5x2 − 7)/(5x2 + 5x + 9).

f(x) = (5x2 − 7)/(5x2 + 5x + 9)x → ∞
L =
2.LimietenMoeilijk
xyx = 0

Bereken de limiet L = limx→0 (1 − cos 5x)/(4x²), met x in radialen.

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0
L =
3.AfgeleidenGemiddeld
xyx = −1

Gegeven f(x) = (−2x + 3)4. Bereken f′(−1).

f(x) = (−2x + 3)4x = −1
f′(−1) =
4.AfgeleidenMoeilijk
xyx = −2

De raaklijn aan f(x) = x2 + 5x + 3 in x = −2 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = x2 + 5x + 3x = −2
b =
5.OptimalisatieGemiddeld
rh

Een gesloten cilindrisch blik (met deksel en bodem) moet 500 cm³ bevatten. Het gebruikte metaal is evenredig met de totale buitenoppervlakte. Bereken de hoogte h van het blik waarbij het minste materiaal nodig is.

V = 500 cm³
h = cm
6.OptimalisatieMoeilijk
p (€)R(p)12nu

Een theater verkoopt 900 kaartjes per voorstelling voor €12 per stuk. Marktonderzoek laat zien dat elke verhoging van de kaartprijs met €1 25 minder verkochte kaartjes betekent (en elke verlaging met €1 er 25 meer). Bereken de kaartprijs p die de omzet maximaliseert.

900 × €1225 / €1
p = €
7.IntegralenGemiddeld
xy01

Bereken I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 1]
I =
8.IntegralenMoeilijk
xyy = x2​y = 3x

Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = x2 en y = 3x.

y = x2y = 3x
A =

3Oplossingen

1.Limieten

Antwoord: L = 1

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Deel door de hoogste macht

(5 + (−7)/x2)/(5 + 5/x + 9/x2)

Laat x → ∞

L = 5/5 = 1

Antwoord

L = 1

Bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten.

2.Limieten

Antwoord: L = 3,125

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Eerste toepassing

5·sin 5x/(8x) → 0/0

Tweede toepassing

25·cos 5x/8

Vul x = 0 in

L = 25/8 = 3,125

Antwoord

L = 3,125
3.Afgeleiden

Antwoord: f′(−1) = −1000

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel

f′(x) = 4·(−2x + 3)3·(−2)

Invullen

f′(−1) = 4·53·(−2) = −1000

Antwoord

f′(−1) = −1000
4.Afgeleiden

Antwoord: b = −1

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Punt en helling

f(−2) = −3
f′(x) = 2x + 5 → f′(−2) = 1

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − 1·(−2) = −1

Antwoord

b = −1
5.Optimalisatie

Antwoord: h = 8,603 cm

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Oppervlakte als functie van r

h = 500/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1000/r

Afgeleide gelijk aan nul stellen

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, dus dit is een minimum.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Hoogte en oppervlakte

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm
A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Antwoord

h = 8,603 cm

Het zuinigste gesloten blik is even hoog als breed: h = 2r.

6.Optimalisatie

Antwoord: p = 24 €

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Omzet als functie van de prijs

n(p) = 1200 − 25p
R(p) = 1200p − 25p²

Afgeleide gelijk aan nul stellen

R″(p) = −50 < 0, dus dit is een maximum.

p = 1200/50 = €24

Maximale omzet

n = 1200 − 25·24 = 600
R = 24·600 = €14400

Antwoord

p = €24
7.Integralen

Antwoord: I = 1,5

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Substitutie

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u1 du

Integreren en invullen

I = [u2/2]12 = (4 − 1)/2 = 1,5

Antwoord

I = 1,5
8.Integralen

Antwoord: A = 4,5

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Snijpunten

x2 = 3x → x = 0, x = 3

Bovenste min onderste integreren

A = [1,5x2 − 0,3333x3]03 = 4,5

Antwoord

A = 4,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1