Calculus 1: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Limieten

Direct invullen: probeer eerst x = a; 0/0 betekent vereenvoudigen
Ontbinden en wegdelen: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Geconjugeerde: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limieten naar oneindig: deel door de hoogste macht van x; bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten
Standaardlimiet: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regel van L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Optimalisatie

Methode: schrijf Q(x) met één variabele, los Q′(x) = 0 op, controleer Q″ of de randpunten
Maximum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Gesloten cilinder: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Winst: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

2Oefenopgaven

1.LimietenGemiddeld

Bereken de limiet L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^3x. Geef een decimale waarde.

f(x) = (1 − 2/x)^3xx → ∞

L =

2.LimietenMoeilijk

Bereken de limiet L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(x²), met x in radialen.

f(x) = (1 − cos 4x)/(x²)x → 0

L =

3.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x·sin(2x), met x in radialen. Bereken f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = 0,5x² + 2x in x = 1 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = 0,5x² + 2xx = 1

b =

5.OptimalisatieGemiddeld

Een gesloten cilindrisch blik (met deksel en bodem) moet 500 cm³ bevatten. Het gebruikte metaal is evenredig met de totale buitenoppervlakte. Bereken de hoogte h van het blik waarbij het minste materiaal nodig is.

V = 500 cm³

h = cm

6.OptimalisatieMoeilijk

Een bedrijf verkoopt q eenheden per week. De prijs waartegen het die kan verkopen is p = 180 − 0,5q euro per eenheid, en de kosten zijn C(q) = 6800 + 15q euro. Bereken de prijs p die de winst maximaliseert.

p = 180 − 0,5qC = 6800 + 15q

p = €

7.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (x in radialen).

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

8.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 1 − x² en de x-as.

y = 1 − x²

A =

3Oplossingen

1.Limieten

Antwoord: L = 0,002479

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Neem de logaritme

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 2/x)

Bereken

ln(1 + u)/u → 1 als u → 0, dus x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·(−2) = −6

Maak de logaritme ongedaan

L = e⁻⁶ = 0,002479

Antwoord

L = 0,002479

2.Limieten

Antwoord: L = 8

Eerste toepassing

4·sin 4x/(2x) → 0/0

Tweede toepassing

16·cos 4x/2

Vul x = 0 in

L = 16/2 = 8

Antwoord

L = 8

3.Afgeleiden

Antwoord: f′(0.5) = 1,382

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Product- en kettingregel

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Invullen

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Antwoord

f′(0,5) = 1,382

4.Afgeleiden

Antwoord: b = −0,5

Punt en helling

f(1) = 2,5

f′(x) = x + 2 → f′(1) = 3

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2,5 − 3·1 = −0,5

Antwoord

b = −0,5

5.Optimalisatie

Antwoord: h = 8,603 cm

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Oppervlakte als functie van r

h = 500/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1000/r

Afgeleide gelijk aan nul stellen

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, dus dit is een minimum.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Hoogte en oppervlakte

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm

A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Antwoord

h = 8,603 cm

Het zuinigste gesloten blik is even hoog als breed: h = 2r.

6.Optimalisatie

Antwoord: p = 97,5 €

Winstfunctie

P(q) = (180 − 0,5q)·q − (6800 + 15q) = −0,5q² + 165q − 6800

Afgeleide gelijk aan nul stellen

P″(q) = −1 < 0, dus dit is een maximum.

q = 165/1 = 165

Prijs en winst

p = 180 − 0,5·165 = €97,5

P = 165·165 − 0,5·165² − 6800 = €6813

Antwoord

p = €97,5

7.Integralen

Antwoord: I = 0,3424

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Kies u en dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Primitieve

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limieten

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0,3424

Antwoord

I = 0,3424

8.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Nulpunten

1 − x² = 0 → x = ±1

Integreren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwoord

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1