Calculus 1: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Limieten

Direct invullen: probeer eerst x = a; 0/0 betekent vereenvoudigen
Ontbinden en wegdelen: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Geconjugeerde: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limieten naar oneindig: deel door de hoogste macht van x; bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten
Standaardlimiet: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regel van L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Optimalisatie

Methode: schrijf Q(x) met één variabele, los Q′(x) = 0 op, controleer Q″ of de randpunten
Maximum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Gesloten cilinder: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Winst: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

2Oefenopgaven

1.LimietenGemiddeld

Bereken de limiet L = lim_x→∞ (5x² + 5x − 3)/(5x² + 2x + 6).

f(x) = (5x² + 5x − 3)/(5x² + 2x + 6)x → ∞

L =

2.LimietenMoeilijk

Bereken de limiet L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²), met x in radialen.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x·sin(2x), met x in radialen. Bereken f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.AfgeleidenMoeilijk

Gegeven f(x) = x³ + 6x² + 9x − 2. Bereken de x-coördinaat x van het lokale maximum.

f(x) = x³ + 6x² + 9x − 2

x =

5.OptimalisatieGemiddeld

Een open doos (zonder deksel) met een vierkant grondvlak moet 108000 cm³ bevatten. Gebruik zo weinig mogelijk materiaal, dus de kleinste oppervlakte van bodem plus vier zijkanten. Bereken de zijde x van het grondvlak.

V = 108000 cm³

x = cm

6.OptimalisatieMoeilijk

Een klein bedrijf verkoopt zijn product tegen een vaste marktprijs van €45 per eenheid. Het produceren van q eenheden kost C(q) = 1000 + 8q + 0,2q² euro. Bereken de maximale winst P.

p = €45C = 1000 + 8q + 0,2q²

P = €

7.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀¹ x·sin x dx (x in radialen).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

8.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 9 − x² en de x-as.

y = 9 − x²

A =

3Oplossingen

1.Limieten

Antwoord: L = 1

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Deel door de hoogste macht

(5 + 5/x + (−3)/x²)/(5 + 2/x + 6/x²)

Laat x → ∞

L = 5/5 = 1

Antwoord

L = 1

Bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten.

2.Limieten

Antwoord: L = 0,5

Eerste toepassing

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Tweede toepassing

4·cos 2x/8

Vul x = 0 in

L = 4/8 = 0,5

Antwoord

L = 0,5

3.Afgeleiden

Antwoord: f′(0.5) = 1,382

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Product- en kettingregel

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Invullen

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Antwoord

f′(0,5) = 1,382

4.Afgeleiden

Antwoord: x = −3

Afgeleide

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

f′(x) = 0 oplossen

x = −3 of x = −1

Welke is welke

f″(x) = 6x + 12: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −3

Antwoord

x = −3

5.Optimalisatie

Antwoord: x = 60 cm

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Oppervlakte als functie van x

S(x) = x² + 432000/x

Afgeleide gelijk aan nul stellen

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, dus dit is een minimum.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Hoogte en oppervlakte

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Antwoord

x = 60 cm

De beste open doos is half zo hoog als breed.

6.Optimalisatie

Antwoord: P = 711,3 €

Winstfunctie

P(q) = 45q − (1000 + 8q + 0,2q²) = −0,2q² + 37q − 1000

Afgeleide gelijk aan nul stellen

P″(q) = −0,4 < 0, dus dit is een maximum.

37 − 0,4q = 0 → q = 92,5

Maximale winst

P = 37·92,5 − 0,2·92,5² − 1000 = €711,3

Antwoord

P = €711,3

7.Integralen

Antwoord: I = 0,3012

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Kies u en dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Primitieve

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limieten

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Antwoord

I = 0,3012

8.Integralen

Antwoord: A = 36

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Nulpunten

9 − x² = 0 → x = ±3

Integreren

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Antwoord

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1