Calculus 1: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Limieten

Direct invullen: probeer eerst x = a; 0/0 betekent vereenvoudigen
Ontbinden en wegdelen: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Geconjugeerde: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limieten naar oneindig: deel door de hoogste macht van x; bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten
Standaardlimiet: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regel van L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Optimalisatie

Methode: schrijf Q(x) met één variabele, los Q′(x) = 0 op, controleer Q″ of de randpunten
Maximum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Gesloten cilinder: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Winst: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

2Oefenopgaven

1.LimietenGemiddeld

Bereken de limiet L = lim_x→∞ (√(x² + 9x) − x).

f(x) = √(x² + 9x) − xx → ∞

L =

2.LimietenMoeilijk

Bereken de limiet L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(2x²), met x in radialen.

f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0

L =

3.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = (4x − 3)³. Bereken f′(2).

f(x) = (4x − 3)³x = 2

f′(2) =

4.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = x² − x + 2 in x = 2 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = x² − x + 2x = 2

b =

5.OptimalisatieGemiddeld

Een gesloten cilindrisch blik (met deksel en bodem) moet 250 cm³ bevatten. Het gebruikte metaal is evenredig met de totale buitenoppervlakte. Bereken de hoogte h van het blik waarbij het minste materiaal nodig is.

V = 250 cm³

h = cm

6.OptimalisatieMoeilijk

Een bedrijf verkoopt q eenheden per week. De prijs waartegen het die kan verkopen is p = 120 − 0,2q euro per eenheid, en de kosten zijn C(q) = 6900 + 15q euro. Bereken de maximale weekwinst P.

p = 120 − 0,2qC = 6900 + 15q

P = €

7.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

8.IntegralenMoeilijk

Het gebied tussen de lijn y = x en de parabool y = 0,5x² wordt om de x-as gewenteld. Bepaal het volume V van het lichaam.

y = xy = 0,5x²

V =

3Oplossingen

1.Limieten

Antwoord: L = 4,5

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Vermenigvuldig met de geconjugeerde

f(x) = 9x/(√(x² + 9x) + x)

Deel door x

f(x) = 9/(√(1 + 9/x) + 1)

Laat x → ∞

L = 9/(1 + 1) = 4,5

Antwoord

L = 4,5

2.Limieten

Antwoord: L = 1

Eerste toepassing

2·sin 2x/(4x) → 0/0

Tweede toepassing

4·cos 2x/4

Vul x = 0 in

L = 4/4 = 1

Antwoord

L = 1

3.Afgeleiden

Antwoord: f′(2) = 300

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel

f′(x) = 3·(4x − 3)²·4

Invullen

f′(2) = 3·5²·4 = 300

Antwoord

f′(2) = 300

4.Afgeleiden

Antwoord: b = −2

Punt en helling

f(2) = 4

f′(x) = 2x − 1 → f′(2) = 3

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − 3·2 = −2

Antwoord

b = −2

5.Optimalisatie

Antwoord: h = 6,828 cm

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Oppervlakte als functie van r

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

Afgeleide gelijk aan nul stellen

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, dus dit is een minimum.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

Hoogte en oppervlakte

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm

A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

Antwoord

h = 6,828 cm

Het zuinigste gesloten blik is even hoog als breed: h = 2r.

6.Optimalisatie

Antwoord: P = 6881 €

Winstfunctie

P(q) = (120 − 0,2q)·q − (6900 + 15q) = −0,2q² + 105q − 6900

Afgeleide gelijk aan nul stellen

P″(q) = −0,4 < 0, dus dit is een maximum.

q = 105/0,4 = 262,5

Prijs en winst

p = 120 − 0,2·262,5 = €67,5

P = 105·262,5 − 0,2·262,5² − 6900 = €6881

Antwoord

P = €6881

7.Integralen

Antwoord: I = 156

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Substitutie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Integreren en invullen

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Antwoord

I = 156

8.Integralen

Antwoord: V = 3,351

Omwentelingslichamen: als je het gebied onder y = f(x) van x = a tot x = b om de x-as wentelt, ontstaat een lichaam waarvan de doorsnede bij x een schijf met straal f(x) is. Het optellen van de schijven geeft V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Ligt het gebied tussen een buitenste kromme R(x) en een binnenste kromme r(x), dan is elke plak een ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kwadrateer de stralen voordat je ze van elkaar aftrekt.

Snijpunten

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

Ringmethode

V = π∫₀² ((1x)² − (0,5x²)²) dx

Integreren

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

Antwoord

V = 3,351

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1