Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Bereken de limiet L = limx→∞ (1 + 3/x)x. Geef een decimale waarde.
Bereken de limiet L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(x), met x in radialen.
Gegeven f(x) = ln(x2 + 1). Bereken f′(−2).
Gegeven f(x) = x3 + 7,5x2 + 12x + 6. Bereken de x-coördinaat x van het lokale minimum.
Een gesloten cilindrisch blik (met deksel en bodem) moet 250 cm³ bevatten. Het gebruikte metaal is evenredig met de totale buitenoppervlakte. Bereken de kleinst mogelijke buitenoppervlakte A.
Een klein bedrijf verkoopt zijn product tegen een vaste marktprijs van €70 per eenheid. Het produceren van q eenheden kost C(q) = 1000 + 30q + 0,2q² euro. Bereken de maximale winst P.
Bereken I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx.
Bereken I = ∫₀0,5 x²·eˣ dx.
Antwoord: L = 20,09
Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).
ln(1 + u)/u → 1 als u → 0, dus x·ln(1 + a/x) → a.
Antwoord: L = 2
Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).
Antwoord: f′(−2) = −0,8
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Antwoord: x = −1
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
f″(x) = 6x + 15: negatief in een maximum, positief in een minimum.
Antwoord: A = 219,7 cm²
Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.
A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, dus dit is een minimum.
Het zuinigste gesloten blik is even hoog als breed: h = 2r.
Antwoord: P = 1000 €
Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.
P″(q) = −0,4 < 0, dus dit is een maximum.
Antwoord: I = 2,333
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Antwoord: I = 0,0609
Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1