Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Bereken de limiet L = limx→∞ (√(4x2 + 9x) − 2x).
Bereken de limiet L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x².
Gegeven f(x) = x·e0,5x. Bereken f′(2).
Gegeven f(x) = x3 + 9x2 + 24x + 3. Bereken de x-coördinaat x van het lokale maximum.
Een gesloten cilindrisch blik (met deksel en bodem) moet 400 cm³ bevatten. Het gebruikte metaal is evenredig met de totale buitenoppervlakte. Bereken de straal r waarbij het minste materiaal nodig is.
Een bedrijf verkoopt q eenheden per week. De prijs waartegen het die kan verkopen is p = 180 − 1q euro per eenheid, en de kosten zijn C(q) = 500 + 95q euro. Bereken de prijs p die de winst maximaliseert.
Bereken I = ∫15 5/x dx.
Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = 0,5x2 en y = 3x.
Antwoord: L = 2,25
Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).
Antwoord: L = 0,5
Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).
Antwoord: f′(2) = 5,437
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Antwoord: x = −4
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
f″(x) = 6x + 18: negatief in een maximum, positief in een minimum.
Antwoord: r = 3,993 cm
Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, dus dit is een minimum.
Het zuinigste gesloten blik is even hoog als breed: h = 2r.
Antwoord: p = 137,5 €
Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.
P″(q) = −2 < 0, dus dit is een maximum.
Antwoord: I = 8,047
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Antwoord: A = 18
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1