Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Bereken de limiet L = limx→∞ (−x2 − 6x + 3)/(4x2 + 3x + 1).
Bereken de limiet L = limx→0 ln(1 + x)/sin(2x), met x in radialen.
Gegeven f(x) = ln(3x2 + 1). Bereken f′(3).
Gegeven f(x) = x3 − 7,5x2 + 18x + 5. Bereken de x-coördinaat x van het lokale minimum.
Een open doos (zonder deksel) met een vierkant grondvlak moet 108000 cm³ bevatten. Gebruik zo weinig mogelijk materiaal, dus de kleinste oppervlakte van bodem plus vier zijkanten. Bereken de minimale oppervlakte S.
Een theater verkoopt 775 kaartjes per voorstelling voor €15 per stuk. Marktonderzoek laat zien dat elke verhoging van de kaartprijs met €1 25 minder verkochte kaartjes betekent (en elke verlaging met €1 er 25 meer). Bereken de maximale omzet R per voorstelling.
Bereken I = ∫02 2x·(x² + 1)3 dx.
Het gebied tussen de lijn y = 4x en de parabool y = 2x² wordt om de x-as gewenteld. Bepaal het volume V van het lichaam.
Antwoord: L = −0,25
Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).
Bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten.
Antwoord: L = 0,5
Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).
Antwoord: f′(3) = 0,6429
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Antwoord: x = 3
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
f″(x) = 6x − 15: negatief in een maximum, positief in een minimum.
Antwoord: S = 10800 cm²
Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.
S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, dus dit is een minimum.
De beste open doos is half zo hoog als breed.
Antwoord: R = 13225 €
Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.
R″(p) = −50 < 0, dus dit is een maximum.
Antwoord: I = 156
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Antwoord: V = 53,62
Omwentelingslichamen: als je het gebied onder y = f(x) van x = a tot x = b om de x-as wentelt, ontstaat een lichaam waarvan de doorsnede bij x een schijf met straal f(x) is. Het optellen van de schijven geeft V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Ligt het gebied tussen een buitenste kromme R(x) en een binnenste kromme r(x), dan is elke plak een ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kwadrateer de stralen voordat je ze van elkaar aftrekt.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1