Analyse 2: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Integralen

Machtsregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken
∫ab (f − g) dx

Methode

  1. Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
  2. Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
  3. Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
  4. Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Rijen & reeksen

Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

  1. Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
  2. Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
  3. Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
  4. Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Multivariabele analyse

Partiële afgeleiden
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiënt
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Richtingsafgeleide
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Raakvlak
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Kettingregel
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Tweede-afgeleidentest
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dubbele integraal
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Poolcoördinaten
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Methode

  1. Behandel bij een partiële afgeleide de andere variabele als constante en gebruik de regels voor één variabele.
  2. Bereken bij gradiëntvragen ∇f = (fx, fy) in het punt; gebruik |∇f| voor de steilste helling en ∇f·u met een eenheidsvector u voor een richtingsafgeleide.
  3. Los voor extrema fx = 0 en fy = 0 samen op en classificeer dan elk punt met D = fxx·fyy − fxy².
  4. Schets bij een dubbele integraal het gebied, kies de volgorde (of poolcoördinaten voor schijven) zodat de binnenste grenzen de begrenzende krommen zijn, en integreer de binnenste eerst.

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Oefenopgaven

1.IntegralenGemiddeld
xy13

Bereken I = ∫13 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 3]
I =
2.IntegralenMoeilijk
xyy = 0,5x2​y = 4x

Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = 0,5x2 en y = 4x.

y = 0,5x2y = 4x
A =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
k|aₖ₊₁/aₖ|123456789101112

Pas het quotiëntcriterium toe op Σk=1∞ 2ᵏ·k!/kᵏ. Bepaal L = lim |ak+1/ak|.

ak = 2ᵏ·k!/kᵏ
L =
4.Rijen & reeksenMoeilijk

f(x) = cos x wordt in x = 1,5 benaderd door zijn Maclaurinpolynoom van graad n. Bepaal met de Lagrange-grens M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! en M = 1 de kleinste graad n die een fout kleiner dan 1 × 10⁻⁶ garandeert.

f(x) = cos xx = 1,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Multivariabele analyseGemiddeld
xy05−2024vP

Bepaal voor f(x, y) = −4x³y³ + 4y² − 4xy de richtingsafgeleide Duf in (3, 1) in de richting van v = (3, 3).

f(x, y) = −4x³y³ + 4y² − 4xyP = (3, 1)v = (3, 3)
Duf =
6.Multivariabele analyseMoeilijk
xy31

Gebruik poolcoördinaten om I = ∬R e−(x² + y²) dA te berekenen, waarbij R de ring 1 ≤ x² + y² ≤ 9 is.

f = e−(x² + y²)1 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
t (min)T (°C)20Ta​28 °C

Een kop koffie van 95 °C wordt achtergelaten in een kamer van 20 °C. Na 20 min is de temperatuur 28 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken de constante k in min⁻¹.

T0 = 95 °CTa = 20 °CT(20) = 28 °C
k = min⁻¹
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
xy13(1, 5)y(3) = ?

Los het beginwaardeprobleem y′ + 3y/x = x2 op voor x > 0, met y(1) = 5. Bereken y(3).

y′ + 3y/x = x2y(1) = 5
y(3) =

3Oplossingen

1.Integralen

Antwoord: I = 3,296

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = 3·ln x

Grenzen invullen

I = 3·(ln 3 − ln 1) = 3·ln 3 = 3,296

Antwoord

I = 3,296
2.Integralen

Antwoord: A = 42,67

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Snijpunten

0,5x2 = 4x → x = 0, x = 8

Bovenste min onderste integreren

A = [2x2 − 0,1667x3]08 = 42,67

Antwoord

A = 42,67
3.Rijen & reeksen

Antwoord: L = 0,7358

Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.

Verhouding van opeenvolgende termen

|ak+1/ak| = 2·(k/(k + 1))ᵏ = 2/(1 + 1/k)ᵏ → 2/e

Conclusie

L = 0,7358 < 1

Antwoord

L = 0,7358

L < 1, dus de reeks convergeert.

4.Rijen & reeksen

Antwoord: n = 11

Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.

n(n + 1)!grens011,5121,125260,56253240,210941200,0632857200,01582650400,003397403200,000635683628800,0001059936288001,589 × 10⁻⁵10399168002,167 × 10⁻⁶114790016002,709 × 10⁻⁷

Grenzen voor toenemende n

n = 10: 2,167 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 11: 2,709 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Kleinste graad

n = 11

Antwoord

n = 11
5.Multivariabele analyse

Antwoord: Duf = −311,1

Gradiënt: ∇f = (fx, fy) wijst in de richting van de steilste stijging, en |∇f| is de grootste veranderingssnelheid. De richtingsafgeleide langs een richting v is Duf = ∇f·u met de eenheidsvector u = v/|v|. Het raakvlak in (a, b) is z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); het geeft de lineaire benadering van f nabij dat punt. Kettingregel: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Gradiënt in het punt

fx = −12x²y³ − 4y → fx(3, 1) = −112
fy = −12x³y² + 8y − 4x → fy(3, 1) = −328

Eenheidsvector

|v| = √(3² + 3²) = 4,243
u = (0,7071, 0,7071)

Inwendig product

Duf = (−112)·0,7071 + (−328)·0,7071 = −311,1

Antwoord

Duf = −311,1
6.Multivariabele analyse

Antwoord: I = 1,155

Kritieke punten en dubbele integralen: een kritiek punt heeft fx = fy = 0. Tweede-afgeleidentest met D = fxxfyy − fxy²: D > 0 en fxx > 0 is een lokaal minimum, D > 0 en fxx < 0 een lokaal maximum, D < 0 een zadelpunt, en D = 0 beslist niets. Laat bij een dubbele integraal over een algemeen gebied de binnenste grenzen de krommen zijn die het gebied begrenzen; gebruik voor schijven en sectoren poolcoördinaten, x = r cos θ, y = r sin θ en dA = r dr dθ (vergeet de factor r niet).

Poolvorm

I = ∫02π ∫13 e−r²·r dr dθ

Integreren

∫ e−r²·r dr = [−e−r²/2]
I = 1,155

Antwoord

I = 1,155
7.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: k = 0,1119 min⁻¹

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Verhouding van de temperatuurverschillen

e−20k = 8/75

Los op naar k

k = ln(75/8)/20 = 0,1119 min⁻¹

Antwoord

k = 0,1119 min⁻¹
8.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(3) = 4,679

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Integrerende factor

μ = e∫3/x dx = x3

Integreren

(x3y)′ = x5 → x3y = 1x6/6 + C

Beginvoorwaarde

5 = 1/6 + C → C = 4,833

Bereken

y(3) = (1·36/6 + 4,833)/33 = 4,679

Antwoord

y(3) = 4,679

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2